( 5 pontos) Determine o número de mols de ar que foi utilizado dentro do cilindro neste experimento, considerando-se o ar como um gás ideal. Dica: calcule o valor a partir do máximo volume, quando P_{\text {man }}=0 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} e utilizando o valor da constante universal dos gases R=8,371 \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}) e a pressão atmosférica obtida do ajuste. Não esqueça da incerteza e explicite os cálculos.
10. \_\_\_\_

Passo 1

O enunciado pede para determinar o número de mols de ar dentro do cilindro, considerando o ar como gás ideal, usando o ponto de máximo volume (quando P_{\text{man}}=0\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}) e a pressão atmosférica obtida do ajuste. Foi dado o valor da constante universal dos gases R=8,371\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Deve-se apresentar também a incerteza do resultado e explicitar os cálculos.
Informações fornecidas explicitamente:
  • R=8,371\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • O ponto de avaliação é o máximo volume, correspondente a P_{\text{man}}=0\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
Informações necessárias que não foram fornecidas no enunciado recebido:
  • O valor numérico do volume máximo V_{\max} medido no experimento (em \mathrm{m^{3}} ou outra unidade que permita conversão para \mathrm{m^{3}}).
  • O valor numérico da pressão atmosférica obtida do ajuste P_{\text{atm}} (e sua incerteza) — estes valores aparecem no ajuste mencionado, mas não foram enviados aqui.
  • A temperatura absoluta T do gás no instante da medição (em \mathrm{K}) e sua incerteza.
  • Incertezas associadas a V_{\max}, P_{\text{atm}} e T (ou informação de como estimá-las).
Observação importante: como o enunciado depende dos valores numéricos do ajuste (pressão atmosférica) e do volume máximo e da temperatura, que não foram fornecidos aqui, não é possível calcular numericamente o número de mols nem a incerteza final. Abaixo eu explico detalhadamente o procedimento passo a passo, com todas as fórmulas e conversões necessárias, de modo que você consiga aplicar diretamente aos valores do seu ajuste/medidas e obter o resultado com incerteza — sem pular etapas.

Passo 2

Princípio físico e fórmula principal: lei dos gases ideais.
A equação dos gases ideais é
P V = n R T,
onde:
  • P é a pressão absoluta do gás (unidade SI: \mathrm{Pa}),
  • V é o volume ocupado pelo gás (unidade SI: \mathrm{m^{3}}),
  • n é o número de mols (unidade: mol),
  • R é a constante universal dos gases (aqui R=8,371\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, conforme enunciado),
  • T é a temperatura absoluta (unidade: \mathrm{K}).
Isolar n:
n=\dfrac{P V}{R T}.
Explicação em palavras: para calcular o número de mols, multiplica-se a pressão absoluta pelo volume e divide-se pelo produto R T. Tudo deve estar em unidades do SI (Pa, m^3, J/(mol K), K) para que o resultado venha em mols.

Passo 3

Que pressão usar no ponto de máximo volume?
O enunciado diz que o ponto de volume máximo ocorre quando P_{\text{man}}=0\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}. Um manômetro que marca a pressão relativa (em \mathrm{kgf/cm^{2}}) mostrando zero significa que a pressão interna do cilindro é igual à pressão atmosférica externa. Assim, no ponto de máximo volume devemos usar a pressão absoluta igual à pressão atmosférica obtida do ajuste:
P = P_{\text{atm}}.
Portanto, no ponto de interesse
n=\dfrac{P_{\text{atm}}\;V_{\max}}{R\,T}.

Passo 4

Unidades e conversões necessárias (com exemplos de conversão):
  1. Converter pressão de \mathrm{kgf/cm^{2}} para \mathrm{Pa}. A relação é
1\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} = 9{,}80665\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Assim, se o ajuste fornecer P_{\text{atm}} em \mathrm{kgf/cm^{2}}, converter via
P_{\text{atm}}(\mathrm{Pa}) = P_{\text{atm}}\bigl(\mathrm{kgf/cm^{2}}\bigr)\times 9{,}80665\times10^{4}.
  1. Converter volume para \mathrm{m^{3}}. Se V_{\max} estiver em litros, por exemplo, usar 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}. Se estiver em \mathrm{cm^{3}}, usar 1\\ \mathrm{cm^{3}}=10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.
  2. As unidades de R dadas são \mathrm{J/(mol\cdot K)} e 1\\ \mathrm{J}=1\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}}, portanto usar P em Pa, V em \mathrm{m^{3}} e T em K garante n em mol.

Passo 5

Propagação de incertezas (como calcular a incerteza em n).
Se os valores de P_{\text{atm}}, V_{\max} e T têm incertezas independentes \delta P, \delta V e \delta T, a incerteza relativa em n vem da soma quadrática das incertezas relativas, porque n é produto/razão dessas grandezas. Tomando logaritmo e diferenciando ou usando regras de propagação para funções do tipo produto/razão, obtemos:
\left(\dfrac{\delta n}{n}\right) = \sqrt{\left(\dfrac{\delta P}{P}\right)^{2} + \left(\dfrac{\delta V}{V}\right)^{2} + \left(\dfrac{\delta T}{T}\right)^{2}}.
Nota: não incluímos incerteza de R porque R é constante com incerteza desprezível para este propósito (se, por algum motivo, for necessário incluir a incerteza de R, ela entra também de forma relativa somada em quadratura).
A incerteza absoluta em n então é
\delta n = n \times \sqrt{\left(\dfrac{\delta P}{P}\right)^{2} + \left(\dfrac{\delta V}{V}\right)^{2} + \left(\dfrac{\delta T}{T}\right)^{2}}.
Explicação prática: por exemplo, se P tem precisão 1\%, V tem 2\% e T tem 0{,}5\%, a incerteza relativa de n seria \sqrt{0{,}01^{2}+0{,}02^{2}+0{,}005^{2}} etc.

Passo 6

Passo a passo prático para aplicar aos seus dados (faça exatamente isto com os números do seu ajuste/medidas):
  1. Pegue P_{\text{atm}} e sua incerteza \delta P_{\text{atm}} do ajuste. Se o ajuste deu \,P_{\text{atm}} = p_0 \pm \Delta p em \mathrm{kgf/cm^{2}}, converta ambos para Pa:
P = p_0 \times 9{,}80665\times10^{4}\\ \mathrm{Pa},\qquad \delta P = \Delta p \times 9{,}80665\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
  1. Pegue V_{\max} e sua incerteza \delta V e converta para \mathrm{m^{3}} se necessário.
  2. Pegue a temperatura absoluta T (em \mathrm{K}) e sua incerteza \delta T. Se você só tem temperatura em {}^\circ\mathrm{C}, converta por T(\mathrm{K})=t({}^\circ\mathrm{C})+273{,}15. Estime \delta T a partir da incerteza do termômetro.
  3. Calcule n por
n=\dfrac{P\,V_{\max}}{R\,T},
usando R=8{,}371\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} (conforme enunciado).
  1. Calcule a incerteza relativa combinada e a incerteza absoluta:
\frac{\delta n}{n}=\sqrt{\Bigl(\frac{\delta P}{P}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{\delta V}{V_{\max}}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{\delta T}{T}\Bigr)^{2}}, \qquad \delta n = n\cdot\frac{\delta n}{n}.
  1. Apresente o resultado com dígitos significativos coerentes, por exemplo:
n = (n_{\text{valor}}\pm \delta n)\\ \mathrm{mol}.

Passo 7

Exemplo simbólico ilustrativo (substitua pelos seus números reais):
  • Suponha que do ajuste obteve-se P_{\text{atm}}=0{,}98\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} com \delta P=0{,}01\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}. Então
P = 0{,}98\times 9{,}80665\times10^{4}=9{,}6105\times10^{4}\\ \mathrm{Pa},
\delta P = 0{,}01\times 9{,}80665\times10^{4}=9{,}80665\times10^{2}\\ \mathrm{Pa}.
  • Suponha V_{\max}=2{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}} com \delta V=0{,}05\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Suponha T=298{,}15\\ \mathrm{K} com \delta T=0{,}5\\ \mathrm{K}.
Calcule
n=\dfrac{(9{,}6105\times10^{4})(2{,}50\times10^{-3})}{8{,}371\cdot 298{,}15}.
Você fará a multiplicação e divisão numericamente para obter n (aqui eu não executo os cálculos numéricos porque os valores reais do seu ajuste podem ser diferentes).
Depois calcule a incerteza relativa
\frac{\delta n}{n}=\sqrt{\Bigl(\frac{9{,}80665\times10^{2}}{9{,}6105\times10^{4}}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{0{,}05\times10^{-3}}{2{,}50\times10^{-3}}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{0{,}5}{298{,}15}\Bigr)^{2}}
e então \delta n = n\cdot (\delta n/n).
Obs.: os números acima são apenas um exemplo ilustrativo de substituição — substitua pelos seus valores de P_{\text{atm}}, V_{\max} e T e suas incertezas para obter o resultado real.

Passo 8

Verificação de consistência e dicas para prova:
  • Sempre verifique unidades antes de aplicar a fórmula: se alguma grandeza não estiver no SI, converta.
  • Se o manômetro indicar zero exato, confirme se isso é por arredondamento do instrumento; use a pressão atmosférica do ajuste (e sua incerteza) conforme solicitado.
  • Se a incerteza de temperatura dominar (por ex., \delta T/T grande), isso aparecerá claramente na soma quadrática e deve ser destacado no relatório.
  • Ao reportar, escreva o valor como n=(\text{valor}\pm\text{incerteza})\\ \mathrm{mol} e mencione as fontes das incertezas (ajuste da pressão, leitura do volume, termômetro).

Resposta

Não é possível determinar numericamente o número de mols porque não foram fornecidos os valores experimentais necessários: o volume máximo V_{\max}, a pressão atmosférica obtida do ajuste P_{\text{atm}} (e sua incerteza) e a temperatura absoluta T (e sua incerteza).

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