(5 pontos) Preencha as duas últimas colunas da tabela 1 com os valores do produto P_{\text {tot }} \cdot V e suas incertezas { }^{2}, onde P_{\text {tot }} é a pressão total calculada somando-se a pressão atmosférica obtida no item anterior aos valores de P_{\text {man }} medidos. Escolha uma linha da tabela e demonstre abaixo o cálculo do produto e a dedução de sua incerteza.

Passo 1

O que o enunciado pede e que informações estão faltando.
  • O enunciado pede que se preencham as duas últimas colunas da Tabela 1 com os valores do produto P_{\text{tot}}\cdot V e suas incertezas.
  • Foi dito que P_{\text{tot}} é a pressão total obtida somando-se a pressão atmosférica (valor do item anterior) aos valores de P_{\text{man}} medidos na tabela.
  • Para cada linha da tabela precisamos de, no mínimo, estes dados:
    • o valor da pressão manométrica da linha: P_{\text{man}} e sua incerteza \sigma_{P_{\text{man}}};
    • o valor do volume da linha: V e sua incerteza \sigma_{V};
    • o valor da pressão atmosférica do item anterior: P_{\text{atm}} e sua incerteza \sigma_{P_{\text{atm}}}.
  • Aviso importante: a tabela e o valor numérico de P_{\text{atm}} (com sua incerteza) não foram fornecidos aqui. Portanto NÃO É POSSÍVEL calcular numericamente e preencher as colunas da sua tabela real sem esses dados.
  • O que eu faço aqui: explico passo a passo como calcular cada entrada e mostro a demonstração algébrica para uma linha genérica; em seguida dou um exemplo numérico ilustrativo (com valores fictícios claramente indicados) para que você veja exatamente as contas que deve aplicar na sua tabela.

Passo 2

Definição das incógnitas e unidades (símbolos que vamos usar).
  • Para uma linha genérica da tabela definimos:
    • P_{\text{atm}}: pressão atmosférica (unidade, por ex. \mathrm{Pa}).
    • \sigma_{P_{\text{atm}}}: incerteza da pressão atmosférica.
    • P_{\text{man}}: pressão manométrica medida nessa linha (mesma unidade).
    • \sigma_{P_{\text{man}}}: incerteza de P_{\text{man}}.
    • P_{\text{tot}}: pressão total dessa linha, definida abaixo.
    • V: volume associado à linha (por ex. \mathrm{m^3}).
    • \sigma_V: incerteza do volume.
    • Q: produto que queremos preencher na tabela; por definição Q = P_{\text{tot}}\cdot V.
    • \sigma_Q: incerteza de Q.
Sempre verifique as unidades antes de multiplicar (ex.: \mathrm{Pa}\times\mathrm{m^3}=\mathrm{J} no SI), e mantenha as mesmas unidades de pressão para P_{\text{atm}} e P_{\text{man}}.

Passo 3

Como calcular P_{\text{tot}} e sua incerteza (soma de grandezas).
  • Definição:
P_{\text{tot}} = P_{\text{atm}} + P_{\text{man}}.
  • Propagação de incerteza para soma (assumindo P_{\text{atm}} e P_{\text{man}} independentes, que é o caso usual):
\sigma_{P_{\text{tot}}} = \sqrt{\sigma_{P_{\text{atm}}}^{2} + \sigma_{P_{\text{man}}}^{2}}.
  • Explicação didática: quando somamos duas medidas independentes, as incertezas (desvios padrão) combinam em quadratura porque queremos a variância do somatório: \mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y). Por isso somamos os quadrados das incertezas e tiramos raiz.

Passo 4

Como calcular o produto Q = P_{\text{tot}}\cdot V e sua incerteza (propagação para produto).
  • Primeiro a definição do produto:
Q = P_{\text{tot}}\cdot V.
  • Método geral (fórmula de propagação por derivadas parciais): se Q = f(x,y) com x=P_{\text{tot}} e y=V, então
\sigma_Q = \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\sigma_x\right)^{2} + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\sigma_y\right)^{2}}.
  • Aqui \partial f/\partial x = V e \partial f/\partial y = P_{\text{tot}}. Logo:
\sigma_Q = \sqrt{(V\,\sigma_{P_{\text{tot}}})^{2} + (P_{\text{tot}}\,\sigma_V)^{2}}.
  • Alternativa em termos de incertezas relativas (útil para inspeção rápida), assumindo P_{\text{tot}}\ne0 e V\ne0:
\left(\frac{\sigma_Q}{Q}\right)^{2} = \left(\frac{\sigma_{P_{\text{tot}}}}{P_{\text{tot}}}\right)^{2} + \left(\frac{\sigma_V}{V}\right)^{2}.
Isso é equivalente à expressão anterior porque \sigma_Q/Q = \sqrt{(V\sigma_{P_{\text{tot}}})^{2}+(P_{\text{tot}}\sigma_V)^{2}}/(P_{\text{tot}}V).

Passo 5

Demonstração algébrica completa para UMA linha genérica (escolhi a linha com índice i; é só substituir pelos valores da sua tabela).
  • Dados simbólicos dessa linha:
    • P_{\text{man}}=P_{\text{man},i} com incerteza \sigma_{P_{\text{man}}}=\sigma_{P_{\text{man},i}}.
    • V=V_{i} com incerteza \sigma_V=\sigma_{V_i}.
    • pressão atmosférica P_{\text{atm}} com incerteza \sigma_{P_{\text{atm}}}.
  • Cálculo passo a passo:
    1. Calcule P_{\text{tot},i}:
    P_{\text{tot},i} = P_{\text{atm}} + P_{\text{man},i}.
    1. Calcule a incerteza \sigma_{P_{\text{tot},i}}:
    \sigma_{P_{\text{tot},i}} = \sqrt{\sigma_{P_{\text{atm}}}^{2} + \sigma_{P_{\text{man},i}}^{2}}.
    1. Calcule o produto Q_{i}:
    Q_{i} = P_{\text{tot},i}\cdot V_{i}.
    1. Calcule a incerteza \sigma_{Q_{i}}:
    \sigma_{Q_{i}} = \sqrt{(V_{i}\,\sigma_{P_{\text{tot},i}})^{2} + (P_{\text{tot},i}\,\sigma_{V_{i}})^{2}}.
  • Esses quatro resultados ( P_{\text{tot},i}, \sigma_{P_{\text{tot},i}}, Q_i, \sigma_{Q_i}) são exatamente o que você deve colocar nas duas últimas colunas da linha i da tabela (normalmente as colunas seriam Q_i e \sigma_{Q_i}; mas calcule primeiro P_{\text{tot},i} e \sigma_{P_{\text{tot},i}} para obter Q_i).

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (valores fictícios) — acompanhe para ver a mecânica das contas.
Aviso: os números a seguir são inventados só para demonstrar o cálculo; substitua pelos seus valores reais da tabela.
Suponha:
  • P_{\text{atm}} = 101300\\ \mathrm{Pa} e \sigma_{P_{\text{atm}}}=100\\ \mathrm{Pa}.
  • Para a linha escolhida: P_{\text{man}} = 300\\ \mathrm{Pa} e \sigma_{P_{\text{man}}}=5\\ \mathrm{Pa}.
  • Volume: V = 0,002\\ \mathrm{m^{3}} e \sigma_V = 5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}.
Passos numéricos:
  1. Pressão total:
P_{\text{tot}} = 101300 + 300 = 101600\\ \mathrm{Pa}.
  1. Incerteza de P_{\text{tot}}:
\sigma_{P_{\text{tot}}} = \sqrt{100^{2} + 5^{2}} = \sqrt{10000 + 25} = \sqrt{10025} \approx 100{,}12\\ \mathrm{Pa}.
(Arredondar depois conforme algarismos significativos; aqui mantemos para cálculo.)
  1. Produto Q:
Q = P_{\text{tot}}\cdot V = 101600 \times 0,002 = 203{,}2\\ \text{(unidade: Pa}\cdot\mathrm{m^{3}}\text{)}.
  1. Incerteza de Q usando a fórmula:
\sigma_Q = \sqrt{(V\,\sigma_{P_{\text{tot}}})^{2} + (P_{\text{tot}}\,\sigma_V)^{2}}.
Calcule termo a termo:
V\,\sigma_{P_{\text{tot}}} = 0,002 \times 100{,}12 = 0{,}20024,
(P_{\text{tot}}\,\sigma_V) = 101600 \times 5\times10^{-5} = 5{,}08.
Agora os quadrados:
(0{,}20024)^{2} \approx 0{,}0401,\qquad (5{,}08)^{2} \approx 25{,}8064.
Soma e raiz:
\sigma_Q = \sqrt{0{,}0401 + 25{,}8064} = \sqrt{25{,}8465}\approx 5{,}083.
Portanto, o resultado fica aproximadamente:
Q = 203{,}2 \pm 5{,}1\\ \text{(Pa}\cdot\mathrm{m^{3}}\text{)}.
Ao reportar com algarismos significativos é razoável escrever:
Q = 203 \pm 5\\ \text{(Pa}\cdot\mathrm{m^{3}}\text{)}.

Passo 7

Dicas práticas para preencher sua Tabela 1 sem erros e apresentar resultados na prova:
  • Para cada linha faça exatamente os quatro passos do Passo 5 (calcule P_{\text{tot}}, \sigma_{P_{\text{tot}}}, Q e \sigma_Q).
  • Se P_{\text{atm}} é o mesmo para todas as linhas, calcule P_{\text{atm}} e \sigma_{P_{\text{atm}}} uma vez e reuse. A incerteza \sigma_{P_{\text{atm}}} entra em todas as \sigma_{P_{\text{tot}}} por quadratura.
  • Verifique unidades: converta volumes para \mathrm{m^{3}} se as pressões estiverem em \mathrm{Pa}.
  • Use a fórmula em termos das derivadas (Passo 4) — é segura e generalizável. Se algum termo for desprezível (por exemplo, se \sigma_V for muito pequeno comparado a V e \sigma_{P_{\text{tot}}} for dominante), isso aparece automaticamente nas contas.
  • Arredonde a incerteza para 1 ou 2 algarismos significativos e ajuste o valor central com o mesmo número de casas decimais que a incerteza.
  • Sempre anote os passos na folha da prova: mostre P_{\text{tot}} e \sigma_{P_{\text{tot}}} antes de calcular Q.

Passo 8

Resumo do procedimento que você deverá aplicar na sua tabela (uma checklist rápida):
  1. Para cada linha leia P_{\text{man},i}, \sigma_{P_{\text{man},i}}, V_i e \sigma_{V_i} da tabela.
  2. Some P_{\text{atm}} + P_{\text{man},i} para obter P_{\text{tot},i}.
  3. Calcule \sigma_{P_{\text{tot},i}} = \sqrt{\sigma_{P_{\text{atm}}}^{2} + \sigma_{P_{\text{man},i}}^{2}}.
  4. Calcule Q_i = P_{\text{tot},i}\cdot V_i.
  5. Calcule \sigma_{Q_i} = \sqrt{(V_i\,\sigma_{P_{\text{tot},i}})^{2} + (P_{\text{tot},i}\,\sigma_{V_i})^{2}}.
  6. Preencha as duas últimas colunas com Q_i e \sigma_{Q_i} arredondados adequadamente.

Passo 9

Se quiser, eu preencho a sua Tabela 1 pra você: cole aqui (sem perguntas adicionais) os valores de cada linha — isto é, escreva para cada linha os números P_{\text{man}}, \sigma_{P_{\text{man}}}, V, \sigma_V, e também informe P_{\text{atm}} e \sigma_{P_{\text{atm}}}. Aí eu calculo e retorno as colunas prontas.

Resposta

Não é possível preencher numericamente as colunas sem a Tabela 1 e o valor de P_{\text{atm}} (com sua incerteza); acima foi dado o procedimento passo a passo, a fórmula de propagação e uma demonstração completa (algebraica e um exemplo numérico ilustrativo) que você pode aplicar a cada linha da sua tabela.

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