O enunciado pede três coisas para um elétron com l=1:
determinar os valores possíveis de j (momentum angular total);
calcular os autovalores de J^{2} (operador do quadrado do momento total) para esses j;
determinar a degenerescência de cada nível (número de estados com o mesmo j).
Informações relevantes dadas (e que vamos usar):
o momento orbital vale l=1;
um elétron tem spin s=\tfrac{1}{2} (essa é uma propriedade física do elétron);
os números quânticos l e s podem ser inteiros ou semi-inteiros, e o total j segue as regras de soma angular.
Passo 2
Regra para a soma de momentos angulares (intuitiva): quando somamos dois momentos angulares l e s, o momento total j pode assumir todos os valores entre |l-s| e l+s em passos de 1. Vou escrever isso claramente como fórmula:
j \in \{|l-s|,\; |l-s|+1,\; \dots,\; l+s\}.
Explicação curta do porquê (sem provas formais): cada componente angular pode apontar de várias maneiras e as projeções se combinam; o resultado é um conjunto de multiplicitades espaçadas por unidade (isso é a regra padrão de acoplamento de spin-orbita em mecânica quântica).
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso com l=1 e s=\tfrac{1}{2}:
Determinar a degenerescência (número de estados com o mesmo j):
Regra: para um dado j, a projeção m toma 2j+1 valores distintos (de -j a +j em passos de 1). Portanto a degenerescência é 2j+1.
Calcular para cada j:
Para j=\tfrac{1}{2}:
2j+1 = 2\cdot\tfrac{1}{2}+1 = 1+1 = 2.
Para j=\tfrac{3}{2}:
2j+1 = 2\cdot\tfrac{3}{2}+1 = 3+1 = 4.
Cheque rápido (sanity check): o número total de estados ao combinar l e s deve ser (2l+1)(2s+1) = (2\cdot1+1)(2\cdot\tfrac{1}{2}+1)=3\cdot2=6. Soma das degenerescências: 4+2=6. Ótimo — bate.
Passo 7
Resumo final (coloquei passo a passo para você poder reproduzir isso na prova; memorizando: regra de soma j\in\{|l-s|,\dots,l+s\}, autovalor J^{2}=\hbar^{2}j(j+1) e degenerescência 2j+1). Força aí — você consegue!
Resposta
j=\tfrac{1}{2},\\ \tfrac{3}{2} J^{2}=\tfrac{3}{4}\hbar^{2} for j=\tfrac{1}{2}; \;J^{2}=\tfrac{15}{4}\hbar^{2} for j=\tfrac{3}{2}
degenerescência: 2 para j=\tfrac{1}{2}; 4 para j=\tfrac{3}{2}