(a) Mostre que uma partícula que caminha com a velocidade da luz deve ter uma massa em repouso nula. (b) Mostre que para uma partícula de massa em repouso nula, u=c, K=E e p=E / c.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais símbolos aparecem (sem resolver ainda).
  • O enunciado pede duas coisas:
    (a) Mostrar que uma partícula que caminha com a velocidade da luz tem massa de repouso nula.
    (b) Mostrar que, para uma partícula cuja massa de repouso é nula, vale \,u=c\,,\;K=E e \;p=E/c.
  • Símbolos que vamos usar (peguei-os do enunciado e de convenções usuais):
    • \,u: velocidade da partícula (módulo).
    • \,c: velocidade da luz no vácuo (constante).
    • \,m: massa de repouso da partícula.
    • \,E: energia total relativística da partícula.
    • \,p: momento linear relativístico da partícula.
    • \,K: energia cinética relativística da partícula.

Passo 2

Apresentar as fórmulas fundamentais da relatividade especial que vamos usar e explicar cada uma.
  • Fator de Lorentz:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}.
Explicação: \gamma é um número que cresce quando u se aproxima de c. Ele aparece nas fórmulas relativísticas de energia e momento. As variáveis são: \,u (velocidade da partícula) e \,c (velocidade da luz).
  • Energia total relativística:
E=\gamma m c^{2}.
Explicação: E é a energia total (contém energia de repouso mais energia cinética). Se m for a massa de repouso, então m c^{2} é a energia de repouso e o fator \gamma amplia essa energia quando a partícula se move.
  • Momento relativístico:
p=\gamma m u.
Explicação: p é o momento linear na relatividade. Para baixas velocidades ( u\ll c), \gamma\approx 1 e p\approx mu, recuperando a expressão clássica.
  • Relação invariável entre E, p e m:
E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}.
Explicação: esta identidade é muito útil porque é invariante (mesma em todos os referenciais). Mostra como energia, momento e massa de repouso estão relacionados. Para partículas com massa não-nula, a diferença E^{2}-p^{2}c^{2} é positiva e igual a m^{2}c^{4}. Para partículas sem massa essa diferença é zero.

Passo 3

(a) Mostrar que se u=c então m=0.
  • Primeiro argumento (pelo fator \gamma, argumento de divergência): suponha que m>0 e a partícula tenha u=c. Então, olhando para o fator de Lorentz,
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{c^{2}}{c^{2}}}}=\frac{1}{0},
ou seja, \gamma\to\infty. Logo, pelas fórmulas E=\gamma m c^{2} e p=\gamma m u, tanto E quanto p seriam infinitos se m>0 e u=c. Isso é fisicamente inaceitável para uma partícula que tivesse energia e momento finitos. Portanto, para permitir energia e momento finitos (caso físico), não podemos ter m>0 com u=c; isto indica que a hipótese u=c exige m=0.
  • Segundo argumento (mais direto e matemático, usando a identidade invariável): partimos da relação
E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}.
Para qualquer partícula (assumindo E finito). Da divisão das expressões para E e p temos também a relação
\frac{p}{E}=\frac{\gamma m u}{\gamma m c^{2}}=\frac{u}{c^{2}}\quad\Rightarrow\quad p=\frac{E}{c^{2}}\,u.
Agora, se u=c e E é finito, substituindo u=c em p=\dfrac{E}{c^{2}}u obtemos
p=\frac{E}{c}.
Substituindo p=E/c na identidade invariável,
E^{2}-\left(\frac{E}{c}\right)^{2}c^{2}=E^{2}-E^{2}=0.
Logo o lado direito da identidade deve ser zero, isto é
m^{2}c^{4}=0 \quad\Rightarrow\quad m=0.
Conclusão do item (a): para uma partícula que caminha com u=c e tem energia finita, necessariamente m=0.

Passo 4

(b) Partícula com massa de repouso nula: mostrar u=c, K=E e p=E/c.
  • Começamos assumindo m=0. Então a identidade invariável vira
E^{2}-p^{2}c^{2}=0,
ou seja
E^{2}=p^{2}c^{2}.
Tomando a raiz positiva (energia positiva),
E=pc.
Isso já dá imediatamente a relação pedida \;p=E/c.
  • Agora mostrar u=c. Usamos novamente a relação genérica entre p e E que vale para qualquer partícula:
p=\frac{E}{c^{2}}\,u.
Substituindo p=E/c (obtida acima) obtemos
\frac{E}{c}= \frac{E}{c^{2}}\,u.
Se E\neq 0 (caso físico de partícula energética), podemos dividir por E e obter
\frac{1}{c}=\frac{u}{c^{2}}\quad\Rightarrow\quad u=c.
Portanto, uma partícula sem massa de repouso se desloca à velocidade c.
  • Finalmente mostrar K=E. Definição da energia cinética relativística:
K=E-E_{\text{repouso}}=E-mc^{2}.
Se m=0 então E_{\text{repouso}}=m c^{2}=0. Assim
K=E-0=E.
Portanto toda a energia total é energia cinética quando m=0.

Passo 5

Resumo físico-interpretativo curto (aqui dou uma palavra amiga e prática para ganhar confiança).
  • Em palavras: partículas com massa de repouso não-nula nunca alcançam c porque isso exigiria \gamma=\infty e energia infinita. Partículas sem massa (como o fóton) têm m=0, via a relação invariável a energia e o momento satisfazem E=pc, e a velocidade resultante é exatamente c. Para essas partículas a energia repouso é zero, então a energia total é pura energia cinética.

Resposta

(a) m=0
(b) u=c
K=E
p=\dfrac{E}{c}

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