(a) Mostre que uma partícula que caminha com a velocidade da luz deve ter uma massa em repouso nula. (b) Mostre que para uma partícula de massa em repouso nula,
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais símbolos aparecem (sem resolver ainda).
-
O enunciado pede duas coisas:
(a) Mostrar que uma partícula que caminha com a velocidade da luz tem massa de repouso nula.
(b) Mostrar que, para uma partícula cuja massa de repouso é nula, valee . -
Símbolos que vamos usar (peguei-os do enunciado e de convenções usuais):
-
: velocidade da partícula (módulo). -
: velocidade da luz no vácuo (constante). -
: massa de repouso da partícula. -
: energia total relativística da partícula. -
: momento linear relativístico da partícula. -
: energia cinética relativística da partícula.
-
Passo 2
Apresentar as fórmulas fundamentais da relatividade especial que vamos usar e explicar cada uma.
- Fator de Lorentz:
Explicação:
é um número que cresce quando
se aproxima de
. Ele aparece nas fórmulas relativísticas de energia e momento. As variáveis são:
(velocidade da partícula) e
(velocidade da luz).
- Energia total relativística:
Explicação:
é a energia total (contém energia de repouso mais energia cinética). Se
for a massa de repouso, então
é a energia de repouso e o fator
amplia essa energia quando a partícula se move.
- Momento relativístico:
Explicação:
é o momento linear na relatividade. Para baixas velocidades (
),
e
, recuperando a expressão clássica.
- Relação invariável entre
, e :
Explicação: esta identidade é muito útil porque é invariante (mesma em todos os referenciais). Mostra como energia, momento e massa de repouso estão relacionados. Para partículas com massa não-nula, a diferença
é positiva e igual a
. Para partículas sem massa essa diferença é zero.
Passo 3
(a) Mostrar que se
então
.
- Primeiro argumento (pelo fator
, argumento de divergência): suponha que e a partícula tenha . Então, olhando para o fator de Lorentz,
ou seja,
. Logo, pelas fórmulas
e
, tanto
quanto
seriam infinitos se
e
. Isso é fisicamente inaceitável para uma partícula que tivesse energia e momento finitos. Portanto, para permitir energia e momento finitos (caso físico), não podemos ter
com
; isto indica que a hipótese
exige
.
- Segundo argumento (mais direto e matemático, usando a identidade invariável): partimos da relação
Para qualquer partícula (assumindo
finito). Da divisão das expressões para
e
temos também a relação
Agora, se
e
é finito, substituindo
em
obtemos
Substituindo
na identidade invariável,
Logo o lado direito da identidade deve ser zero, isto é
Conclusão do item (a): para uma partícula que caminha com
e tem energia finita, necessariamente
.
Passo 4
(b) Partícula com massa de repouso nula: mostrar
,
e
.
- Começamos assumindo
. Então a identidade invariável vira
ou seja
Tomando a raiz positiva (energia positiva),
Isso já dá imediatamente a relação pedida
.
- Agora mostrar
. Usamos novamente a relação genérica entre e que vale para qualquer partícula:
Substituindo
(obtida acima) obtemos
Se
(caso físico de partícula energética), podemos dividir por
e obter
Portanto, uma partícula sem massa de repouso se desloca à velocidade
.
- Finalmente mostrar
. Definição da energia cinética relativística:
Se
então
. Assim
Portanto toda a energia total é energia cinética quando
.
Passo 5
Resumo físico-interpretativo curto (aqui dou uma palavra amiga e prática para ganhar confiança).
- Em palavras: partículas com massa de repouso não-nula nunca alcançam
porque isso exigiria e energia infinita. Partículas sem massa (como o fóton) têm , via a relação invariável a energia e o momento satisfazem , e a velocidade resultante é exatamente . Para essas partículas a energia repouso é zero, então a energia total é pura energia cinética.
Resposta
(a)
(b)