21.79 * CALC Uma carga positiva
é distribuída uniformemente sobre o eixo
de
até
. Uma carga puntiforme positiva
está sobre a parte positiva do eixo
, no ponto
, a uma distância
à direita da extremidade de
(Figura P21.79). (a) Determine os componentes
e
do campo elétrico produzidos pela distribuição de cargas
nos pontos da parte positiva do eixo
para
. (b) Calcule a força (módulo, direçāo e sentido) que a distribuição de cargas
exerce sobre a carga
. (c) Mostre que, para os pontos
, o módulo da força calculada no item (b) é aproximadamente igual a
. Explique o motivo desse resultado.
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico gerado por uma carga linear positiva total
uniformemente distribuída sobre o eixo
de
até
, avaliando esse campo em pontos sobre o mesmo eixo para
. Em seguida, usamos esse campo para achar a força sobre uma carga teste
colocada em
. O conteúdo é integração da lei de Coulomb para distribuições contínuas de carga.
Passo 2
Para achar o campo no ponto
(com
) definimos densidade linear
e tomamos um elemento de carga
em
. Pela lei de Coulomb, o componente
de
vale
e simetricamente
. Integramos de
a
:
Como não há componente perpendicular,
Passo 3
A força sobre a carga
em
é
apontando para o sentido positivo de
. Assim o módulo é
direção ao longo de
.
Passo 4
Para
expandimos
Logo
isto é, o campo se comporta como se toda a carga
estivesse concentrada em um ponto, pois para distâncias muito grandes a distribuição fica “vista” como um ponto.
Resposta
(a)
,
, para
.
(b) ,
direção positiva de .
(c) Para ,
,
porque a distribuição de carga passa a se comportar como carga pontual de valor .
(b)
direção positiva de
(c) Para
porque a distribuição de carga passa a se comportar como carga pontual de valor