21.79 * CALC Uma carga positiva Q é distribuída uniformemente sobre o eixo x de x=0 até x=a. Uma carga puntiforme positiva q está sobre a parte positiva do eixo x, no ponto x=a+r, a uma distância r à direita da extremidade de Q (Figura P21.79). (a) Determine os componentes x e y do campo elétrico produzidos pela distribuição de cargas Q nos pontos da parte positiva do eixo x para x>a. (b) Calcule a força (módulo, direçāo e sentido) que a distribuição de cargas Q exerce sobre a carga q. (c) Mostre que, para os pontos r \gg a, o módulo da força calculada no item (b) é aproximadamente igual a Q q / 4 \pi \epsilon_{0} r^{2}. Explique o motivo desse resultado.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico gerado por uma carga linear positiva total Q uniformemente distribuída sobre o eixo x de x=0 até x=a, avaliando esse campo em pontos sobre o mesmo eixo para x>a. Em seguida, usamos esse campo para achar a força sobre uma carga teste q colocada em x=a+r. O conteúdo é integração da lei de Coulomb para distribuições contínuas de carga.

Passo 2

Para achar o campo no ponto x (com x>a) definimos densidade linear
\lambda = \frac{Q}{a}
e tomamos um elemento de carga \,dQ = \lambda\,dx' em x'\in[0,a]. Pela lei de Coulomb, o componente x de \,d\mathbf E vale
dE_x = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{dQ}{(x - x')^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{\lambda\,dx'}{(x-x')^2},
e simetricamente dE_y=0. Integramos de x'=0 a x'=a:
E_x(x) = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_{0}^{a}\frac{dx'}{(x-x')^2} = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\Bigl[\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x}\Bigr].
Como não há componente perpendicular,
E_y(x)=0.

Passo 3

A força sobre a carga q em x=a+r é
\mathbf F = q\,\mathbf E\bigl(x=a+r\bigr)
apontando para o sentido positivo de x. Assim o módulo é
F = q\,E_x(a+r) = \frac{q\,\lambda}{4\pi\epsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{a+r}\Bigr) = \frac{q\,Q}{4\pi\epsilon_0\,a}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{a+r}\Bigr),
direção ao longo de +x.

Passo 4

Para r\gg a expandimos
\frac{1}{r}-\frac{1}{r+a} =\frac{1}{r}-\frac{1}{r\,(1+a/r)} \approx \frac{1}{r}-\frac{1}{r}\Bigl(1-\frac{a}{r}\Bigr) =\frac{a}{r^2}.
Logo
F\approx \frac{q\,Q}{4\pi\epsilon_0\,a}\,\frac{a}{r^2} =\frac{q\,Q}{4\pi\epsilon_0\,r^2},
isto é, o campo se comporta como se toda a carga Q estivesse concentrada em um ponto, pois para distâncias muito grandes a distribuição fica “vista” como um ponto.

Resposta

(a) E_x(x)=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{a}\Bigl(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x}\Bigr),
E_y(x)=0, para x>a.
(b) \displaystyle F=\frac{q\,Q}{4\pi\epsilon_0\,a}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{a+r}\Bigr),
direção positiva de x.
(c) Para r\gg a,
\displaystyle F\approx\frac{q\,Q}{4\pi\epsilon_0\,r^2},
porque a distribuição de carga passa a se comportar como carga pontual de valor Q.

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