22.53 * GALC Uma distribuição de cargas esfericamente siméurica, porém não uniforme, possui uma densidade rho(r) dada por:
\begin{array}{lll} \rho(r)=\rho_{0}\left(1-\frac{r}{R}\right) & \text { para } & r \leq R \\\ \rho(r)=0 & \text { para } & r \geq R \end{array}

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de carga esfericamente simétrica, com densidade não uniforme
\rho(r)= \begin{cases} \rho_{0}\Bigl(1-\dfrac{r}{R}\Bigr)\,,&r\le R,\\[6pt] 0\,,&r\ge R, \end{cases}
e pede o campo elétrico E(r). O conteúdo é a Lei de Gauss em meio contínuo:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\epsilon_0}.]

Passo 2

Calcular a carga interna até uma esfera de raio r\le R:
Q_{\text{int}}(r) = \int_{0}^{r} \rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr' =4\pi\rho_{0}\int_{0}^{r}\Bigl(1-\tfrac{r'}{R}\Bigr)r'^{2}dr'.
Separando os integrais:
\int_{0}^{r}r'^{2}dr'=\frac{r^{3}}{3}, \qquad \int_{0}^{r}r'^{3}dr'=\frac{r^{4}}{4},
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Q_{\text{int}}(r) =4\pi\rho_{0}\Bigl(\tfrac{r^{3}}{3}-\tfrac{1}{R}\,\tfrac{r^{4}}{4}\Bigr) =4\pi\rho_{0}\Bigl(\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{4}}{4R}\Bigr).

Passo 3

Aplicar a Lei de Gauss para r\le R:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\epsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q_{\text{int}}(r)}{r^{2}} =\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\Bigl(\frac{r}{3}-\frac{r^{2}}{4R}\Bigr).
O campo aponta radialmente para fora.

Passo 4

Para r\ge R usamos a carga total Q_{T}=Q_{\text{int}}(R):
Q_{T} =4\pi\rho_{0}\Bigl(\frac{R^{3}}{3}-\frac{R^{4}}{4R}\Bigr) =4\pi\rho_{0}\,R^{3}\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\Bigr) =\frac{\pi\rho_{0}R^{3}}{3}.
Logo,
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{T}}{\epsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q_{T}}{r^{2}} =\frac{\rho_{0}R^{3}}{12\epsilon_{0}r^{2}},
também radial.

Resposta

Para r\le R:
E(r)=\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\Bigl(\frac{r}{3}-\frac{r^{2}}{4R}\Bigr) \quad(\text{radial para fora}).
Para r\ge R:
E(r)=\frac{\rho_{0}R^{3}}{12\epsilon_{0}r^{2}} \quad(\text{radial para fora}).

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