(*) Um disco uniforme de massa m, raio R e densidade de carga superficial \sigma gira em torno do seu eixo com velocidade angular \omega. Um campo magnético uniforme de módulo B atravessa o disco, fazendo um ângulo \theta com relação ao eixo de rotação do disco. Calcule: (a) O momento de dipolo magnético do disco girante; (b) O torque líquido sobre o disco. Resposta: (a) \mu=\pi \sigma R^{4} \omega / 4; (b) \tau=\mu B \sin \theta.
Passo 1
O enunciado dá um disco de raio R, densidade de carga superficial \sigma (charge por unidade de área), girando com velocidade angular \omega. Há um campo magnético uniforme de módulo B que forma um ângulo \theta com o eixo de rotação do disco. Pede-se:
(a) o momento de dipolo magnético do disco girante;
(b) o torque líquido sobre o disco.
Informações relevantes fornecidas:
raio: R;
densidade de carga superficial: \sigma (unidades: carga/área);
velocidade angular: \omega;
campo magnético uniforme: B e ângulo com o eixo: \theta.
Observação: a massa m está no enunciado mas não entra diretamente no cálculo do momento magnético nem do torque aqui.
Passo 2
Ideia física e definição úteis (mini-aula):
Um corpo carregado que gira produz uma corrente elétrica efetiva, porque a carga passa repetidamente por um mesmo ponto — portanto podemos modelar o disco como a soma de muitas espiras (anel) concêntricas, cada uma com uma pequena carga que constitui um pequeno circuito.
Período de rotação e corrente associada: se uma carga Q completa uma volta em período T, a corrente associada é I=Q/T. Para rotação com velocidade angular \omega vale T=2\pi/\omega.
Momento de dipolo magnético de uma espira: uma espira com corrente I e área A tem momento magnético de módulo \mu=I A. A direção do vetor \boldsymbol{\mu} é perpendicular ao plano da espira, dada pela regra da mão direita (polegar aponta para \boldsymbol{\mu} se os dedos seguem a corrente).
Torque sobre um dipolo magnético: um dipolo magnético \boldsymbol{\mu} em campo \boldsymbol{B} sofre torque \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\boldsymbol{B}. O módulo é \tau=\mu B\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \boldsymbol{\mu} e \boldsymbol{B}.
Passo 3
Dividir o disco em anéis concêntricos (estratégia de cálculo):
Considere um anel de raio r e largura infinitesimal dr.
A área desse anel é
dA = 2\pi r\,dr.
A carga contida no anel é a densidade superficial vezes a área:
dQ = \sigma\,dA = 2\pi\sigma r\,dr.
Explanação: esse dQ é a quantidade de carga que fica na faixa entre r e r+dr.
Passo 4
Corrente associada ao anel:
O anel completa uma volta em período T=2\pi/\omega.
A corrente (fluxo de carga por unidade de tempo) associada à carga dQ é
Comentário: nota-se o 2\pi se cancelando — isso é clássico e conveniente.
Passo 5
Momento magnético de um anel:
Um anel de raio r (espira circular) com corrente dI tem momento magnético de módulo d\mu=dI\cdot A_{\text{espira}}, onde A_{\text{espira}} é a área da espira (área do círculo de raio r):
Direção do vetor: pelo sentido da rotação (regra da mão direita) ao longo do eixo de rotação. Observação amiga: a massa m realmente não apareceu — só importa a distribuição de carga e a velocidade angular.
Passo 7
Cálculo do torque líquido:
Para uma única espira planar vale o resultado conhecido (derivável a partir da força de Lorentz sobre elementos de corrente) \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\boldsymbol{B}. O disco é soma de espiras concêntricas, portanto o torque total é o mesmo que o torque do momento magnético total \boldsymbol{\mu} no campo \boldsymbol{B}:
onde \theta é o ângulo entre o eixo (direção de \boldsymbol{\mu}) e \boldsymbol{B}. Interpretação física: o campo tende a girar o dipolo até alinhar \boldsymbol{\mu} com \boldsymbol{B}.
Passo 8
Resumo final e checagem com o enunciado:
Encontramos que o momento magnético tem exatamente a forma pedida e que o torque tem a forma vetorial clássica. Está tudo consistente com as respostas fornecidas pelo enunciado.