1. (*) Um disco uniforme de massa m, raio R e densidade de carga superficial \sigma gira em torno do seu eixo com velocidade angular \omega. Um campo magnético uniforme de módulo B atravessa o disco, fazendo um ângulo \theta com relação ao eixo de rotação do disco. Calcule: (a) O momento de dipolo magnético do disco girante; (b) O torque líquido sobre o disco. Resposta: (a) \mu=\pi \sigma R^{4} \omega / 4; (b) \tau=\mu B \sin \theta.

Passo 1

O enunciado dá um disco de raio R, densidade de carga superficial \sigma (charge por unidade de área), girando com velocidade angular \omega. Há um campo magnético uniforme de módulo B que forma um ângulo \theta com o eixo de rotação do disco. Pede-se:
  • (a) o momento de dipolo magnético do disco girante;
  • (b) o torque líquido sobre o disco.
Informações relevantes fornecidas:
  • raio: R;
  • densidade de carga superficial: \sigma (unidades: carga/área);
  • velocidade angular: \omega;
  • campo magnético uniforme: B e ângulo com o eixo: \theta.
    Observação: a massa m está no enunciado mas não entra diretamente no cálculo do momento magnético nem do torque aqui.

Passo 2

Ideia física e definição úteis (mini-aula):
  • Um corpo carregado que gira produz uma corrente elétrica efetiva, porque a carga passa repetidamente por um mesmo ponto — portanto podemos modelar o disco como a soma de muitas espiras (anel) concêntricas, cada uma com uma pequena carga que constitui um pequeno circuito.
  • Período de rotação e corrente associada: se uma carga Q completa uma volta em período T, a corrente associada é I=Q/T. Para rotação com velocidade angular \omega vale T=2\pi/\omega.
  • Momento de dipolo magnético de uma espira: uma espira com corrente I e área A tem momento magnético de módulo \mu=I A. A direção do vetor \boldsymbol{\mu} é perpendicular ao plano da espira, dada pela regra da mão direita (polegar aponta para \boldsymbol{\mu} se os dedos seguem a corrente).
  • Torque sobre um dipolo magnético: um dipolo magnético \boldsymbol{\mu} em campo \boldsymbol{B} sofre torque \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\boldsymbol{B}. O módulo é \tau=\mu B\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \boldsymbol{\mu} e \boldsymbol{B}.

Passo 3

Dividir o disco em anéis concêntricos (estratégia de cálculo):
  • Considere um anel de raio r e largura infinitesimal dr.
  • A área desse anel é
dA = 2\pi r\,dr.
  • A carga contida no anel é a densidade superficial vezes a área:
dQ = \sigma\,dA = 2\pi\sigma r\,dr.
Explanação: esse dQ é a quantidade de carga que fica na faixa entre r e r+dr.

Passo 4

Corrente associada ao anel:
  • O anel completa uma volta em período T=2\pi/\omega.
  • A corrente (fluxo de carga por unidade de tempo) associada à carga dQ é
dI=\frac{dQ}{T}=dQ\cdot\frac{\omega}{2\pi}.
Substituindo dQ:
dI=\left(2\pi\sigma r\,dr\right)\cdot\frac{\omega}{2\pi}=\sigma\omega r\,dr.
Comentário: nota-se o 2\pi se cancelando — isso é clássico e conveniente.

Passo 5

Momento magnético de um anel:
  • Um anel de raio r (espira circular) com corrente dI tem momento magnético de módulo d\mu=dI\cdot A_{\text{espira}}, onde A_{\text{espira}} é a área da espira (área do círculo de raio r):
A_{\text{espira}}=\pi r^{2}.
  • Portanto
d\mu = dI\cdot \pi r^{2}.
Substituindo dI encontrado:
d\mu = \left(\sigma\omega r\,dr\right)\cdot \pi r^{2} = \pi\sigma\omega r^{3}\,dr.
Explicação: cada anel contribui com um pequeno momento magnético; os momentos das diferentes espiras se somam (são todos paralelos ao eixo).

Passo 6

Integração para obter o momento magnético total:
  • Somando (integrando) as contribuições de r=0 até r=R:
\mu=\int_{0}^{R} d\mu = \pi\sigma\omega\int_{0}^{R} r^{3}\,dr.
  • Calcule a integral:
\int_{0}^{R} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{R}=\frac{R^{4}}{4}.
  • Logo
\mu=\pi\sigma\omega\cdot\frac{R^{4}}{4}=\frac{\pi\sigma R^{4}\omega}{4}.
Direção do vetor: pelo sentido da rotação (regra da mão direita) ao longo do eixo de rotação. Observação amiga: a massa m realmente não apareceu — só importa a distribuição de carga e a velocidade angular.

Passo 7

Cálculo do torque líquido:
  • Para uma única espira planar vale o resultado conhecido (derivável a partir da força de Lorentz sobre elementos de corrente) \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\boldsymbol{B}. O disco é soma de espiras concêntricas, portanto o torque total é o mesmo que o torque do momento magnético total \boldsymbol{\mu} no campo \boldsymbol{B}:
\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\boldsymbol{B}.
  • O módulo do torque é
\tau=\mu B\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre o eixo (direção de \boldsymbol{\mu}) e \boldsymbol{B}. Interpretação física: o campo tende a girar o dipolo até alinhar \boldsymbol{\mu} com \boldsymbol{B}.

Passo 8

Resumo final e checagem com o enunciado:
  • Encontramos que o momento magnético tem exatamente a forma pedida e que o torque tem a forma vetorial clássica. Está tudo consistente com as respostas fornecidas pelo enunciado.

Resposta

(a) \displaystyle \mu=\frac{\pi \sigma R^{4}\omega}{4}
(b) \displaystyle \tau=\mu B\sin\theta

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