18 - Um mol de gás hélio, com C_{V}=\frac{3}{2} R, inicialmente a 10 atm e 0^{\circ} \mathrm{C}, sofre uma expansão adiabática reversível até atingir a pressão atmosférica, como primeiro estágio num processo de liquefaçāo do gás. (a) Calcule a temperatura final em Kelvin. (b) Calcule o trabalho realizado pelo gás na expansão.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (pego diretamente do enunciado):
  • quantidade de gás: n=1 mol;
  • capacidade térmica molar a volume constante: C_{V}=\dfrac{3}{2}R;
  • estado inicial: P_{1}=10\\ \mathrm{atm}, T_{1}=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K};
  • estado final: P_{2}=1\\ \mathrm{atm};
  • o processo é adiabático reversível (logo não há troca de calor).
O enunciado pede:
(a) a temperatura final T_{2} em kelvin;
(b) o trabalho realizado pelo gás na expansão (isto é, o trabalho efetuado pelo sistema).

Passo 2

Entendendo a relação adiabática para gás ideal e obtendo \gamma.
Para um gás ideal monoatômico com C_{V}=\dfrac{3}{2}R vale
C_{P}=C_{V}+R=\frac{3}{2}R+R=\frac{5}{2}R.
Definimos a razão de capacidades térmicas
\gamma=\frac{C_{P}}{C_{V}}=\frac{\tfrac{5}{2}R}{\tfrac{3}{2}R}=\frac{5}{3}.
Para um processo adiabático reversível de um gás ideal vale a lei
P V^{\gamma}=\text{constante}.
Também podemos relacionar T, P e V usando a equação de estado do gás ideal para n=1:
P V = R T.
Vou usar estas relações para ligar T_{2} a T_{1} a partir das pressões conhecidas.

Passo 3

Deduzindo a relação entre T e P para adiabática reversível.
Partindo de P V^{\gamma}= constante e usando V=RT/P (para n=1):
P\left(\frac{R T}{P}\right)^{\gamma}=\text{const} \quad\Rightarrow\quad R^{\gamma}T^{\gamma}P^{1-\gamma}=\text{const}.
Isso implica que, entre dois estados 1 e 2,
T_{1}^{\gamma}P_{1}^{1-\gamma}=T_{2}^{\gamma}P_{2}^{1-\gamma}.
Tomando potências e isolando a razão T_{2}/T_{1} obtém-se a forma mais prática:
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Agora substituímos os valores. Já calculamos \gamma=\dfrac{5}{3}, então
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{\tfrac{5}{3}-1}{\tfrac{5}{3}}=\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{5}{3}}=\frac{2}{5}=0{,}4.
Portanto
T_{2}=T_{1}\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{0{,}4}.

Passo 4

Cálculo numérico de T_{2}.
Substituindo T_{1}=273{,}15\\ \mathrm{K}, P_{1}=10\\ \mathrm{atm}, P_{2}=1\\ \mathrm{atm}:
T_{2}=273{,}15\left(\frac{1}{10}\right)^{0{,}4} =273{,}15\cdot 10^{-0{,}4}.
Sabendo que 10^{0{,}4}\approx 2{,}511886, temos 10^{-0{,}4}\approx 0{,}398107. Logo
T_{2}\approx 273{,}15\times 0{,}398107\approx 108{,}7\\ \mathrm{K}.
Isto faz sentido físico: numa expansão adiabática o gás esfria, então T_{2}<T_{1}.

Passo 5

Encontrando o trabalho realizado pelo gás: relação entre \Delta U e W.
Primeira lei da termodinâmica (convenção: W trabalho realizado pelo sistema):
\Delta U = Q - W.
Para processo adiabático Q=0, portanto
\Delta U = -W \quad\Rightarrow\quad W = -\Delta U.
Para um gás ideal monoatômico (ou, de modo geral, com C_{V} dado),
\Delta U = n C_{V} (T_{2}-T_{1}).
Com n=1 e C_{V}=\dfrac{3}{2}R obtemos
W = -\Delta U = -\left(1\cdot \frac{3}{2}R (T_{2}-T_{1})\right) = \frac{3}{2}R (T_{1}-T_{2}).

Passo 6

Cálculo numérico do trabalho.
Usando R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}, T_{1}=273{,}15\\ \mathrm{K} e T_{2}\approx108{,}7\\ \mathrm{K}:
C_{V}=\frac{3}{2}R=\frac{3}{2}\times 8{,}314\approx 12{,}471\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
A diferença de temperatura:
T_{1}-T_{2}\approx 273{,}15-108{,}7=164{,}45\\ \mathrm{K}.
Logo
W \approx 12{,}471\times 164{,}45\\ \mathrm{J}\approx 2050\\ \mathrm{J}.
Portanto o trabalho realizado pelo gás é aproximadamente 2{,}05\times 10^{3}\\ \mathrm{J} (positivo, porque foi trabalho efetuado pelo gás sobre o entorno).

Resposta

T_{2}\approx 108{,}7\\ \mathrm{K}\n
W\approx 2{,}05\times 10^{3}\\ \mathrm{J}

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