18 - Um mol de gás hélio, com
, inicialmente a 10 atm e
, sofre uma expansão adiabática reversível até atingir a pressão atmosférica, como primeiro estágio num processo de liquefaçāo do gás. (a) Calcule a temperatura final em Kelvin. (b) Calcule o trabalho realizado pelo gás na expansão.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (pego diretamente do enunciado):
- quantidade de gás:
mol; - capacidade térmica molar a volume constante:
; - estado inicial:
, ; - estado final:
; - o processo é adiabático reversível (logo não há troca de calor).
O enunciado pede:
(a) a temperatura final em kelvin;
(b) o trabalho realizado pelo gás na expansão (isto é, o trabalho efetuado pelo sistema).
(a) a temperatura final
(b) o trabalho realizado pelo gás na expansão (isto é, o trabalho efetuado pelo sistema).
Passo 2
Entendendo a relação adiabática para gás ideal e obtendo
.
Para um gás ideal monoatômico com
vale
Definimos a razão de capacidades térmicas
Para um processo adiabático reversível de um gás ideal vale a lei
Também podemos relacionar
,
e
usando a equação de estado do gás ideal para
:
Vou usar estas relações para ligar
a
a partir das pressões conhecidas.
Passo 3
Deduzindo a relação entre
e
para adiabática reversível.
Partindo de
constante e usando
(para
):
Isso implica que, entre dois estados 1 e 2,
Tomando potências e isolando a razão
obtém-se a forma mais prática:
Agora substituímos os valores. Já calculamos
, então
Portanto
Passo 4
Cálculo numérico de
.
Substituindo
,
,
:
Sabendo que
, temos
. Logo
Isto faz sentido físico: numa expansão adiabática o gás esfria, então
.
Passo 5
Encontrando o trabalho realizado pelo gás: relação entre
e
.
Primeira lei da termodinâmica (convenção:
trabalho realizado pelo sistema):
Para processo adiabático
, portanto
Para um gás ideal monoatômico (ou, de modo geral, com
dado),
Com
e
obtemos
Passo 6
Cálculo numérico do trabalho.
Usando
,
e
:
A diferença de temperatura:
Logo
Portanto o trabalho realizado pelo gás é aproximadamente
(positivo, porque foi trabalho efetuado pelo gás sobre o entorno).