B.5.21 Considere a seguinte equação característica:
Utilizando o critério de estabilidade de Routh, determine o intervalo de
para a estabilidade.
Passo 1
O enunciado dá a equação característica
e pede: determinar o intervalo de
para que o polinômio seja estável (todas as raízes com parte real negativa).
Informações explícitas extraídas do enunciado:
- Coeficientes do polinómio (grau 4):
- Objetivo: encontrar o conjunto de valores de
que garantam estabilidade.
Passo 2
Breve explicação do critério de Routh (didática):
- O critério de Routh fornece uma maneira de verificar se todas as raízes de um polinômio possuem parte real negativa usando apenas os coeficientes, sem calcular as raízes.
- Constrói-se a tabela (arranjo) de Routh cujas primeiras duas linhas são formadas pelos coeficientes em ordem decrescente de potência (pares e ímpares).
- A condição necessária e suficiente para estabilidade (para polinômios com coeficientes reais e coeficiente líder positivo) é: todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh devem ter o mesmo sinal (normalmente todos positivos).
- Se algum elemento da primeira coluna for zero ou uma linha inteira for zero, existem procedimentos especiais; esses casos correspondem a margens de estabilidade (raízes no eixo imaginário) e precisam ser tratados com cuidado.
Passo 3
Montagem das duas primeiras linhas da tabela de Routh com os coeficientes (organização padrão):
Explicação: na linha
colocam-se os coeficientes de
. Na linha
colocam-se os coeficientes de
e (se necessário) um zero.]
Passo 4
Cálculo da linha
. Fórmula para o primeiro elemento da linha seguinte:
Aplicando aos números:
O segundo elemento da linha
(usando os próximos termos) é
Então a tabela até agora (apenas primeiras duas colunas relevantes) é
Passo 5
Cálculo da linha
. Usando a mesma fórmula, o primeiro elemento da linha
é
Simplificando passo a passo:
O segundo elemento da linha
será zero (não há termo adicional), então a tabela segue:
Passo 6
Linha
: o último elemento é simplesmente o coeficiente independente
Assim, a primeira coluna da tabela de Routh (os valores que precisam ser todos positivos para estabilidade) é, em ordem de cima para baixo:
Passo 7
Condições de positividade e combinação das desigualdades (explicando cada passo):
-
e e já são verdadeiros, então só precisamos garantir que as duas entradas que dependem de sejam positivas: -
. Isso implica
-
. Agora, como já exigimos (ou seja ), o denominador é positivo; assim a desigualdade reduz-se a
-
- Portanto, combinando as duas condições, a restrição mais forte é
Passo 8
Comentários sobre os valores de fronteira (didática e verificação):
- Para
a entrada fica zero; isso sinaliza margem: espera-se pares de raízes no eixo imaginário (margem entre estável e instável). Podemos verificar isso substituindo na equação característica: Separando partes real e imaginária leva a Para a parte real fornece, após simplificação, confirmando que em existem raízes puramente imaginárias (par ), ou seja é exatamente a fronteira de estabilidade (marginal). - Para
a entrada é zero; nesse caso precisa-se do procedimento especial da tabela de Routh (ou analysis por substituição) para concluir comportamento — nesse ponto não há estabilidade estrita; de qualquer forma o intervalo estritamente estável exige (maior que a maior das condições críticas).