B.5.21 Considere a seguinte equação característica:
s^{4}+2 s^{3}+(4+K) s^{2}+9 s+25=0
Utilizando o critério de estabilidade de Routh, determine o intervalo de K para a estabilidade.

Passo 1

O enunciado dá a equação característica
s^{4}+2 s^{3}+(4+K) s^{2}+9 s+25=0
e pede: determinar o intervalo de K para que o polinômio seja estável (todas as raízes com parte real negativa).
Informações explícitas extraídas do enunciado:
  • Coeficientes do polinómio (grau 4): a_4=1,\quad a_3=2,\quad a_2=4+K,\quad a_1=9,\quad a_0=25.
  • Objetivo: encontrar o conjunto de valores de K que garantam estabilidade.

Passo 2

Breve explicação do critério de Routh (didática):
  • O critério de Routh fornece uma maneira de verificar se todas as raízes de um polinômio possuem parte real negativa usando apenas os coeficientes, sem calcular as raízes.
  • Constrói-se a tabela (arranjo) de Routh cujas primeiras duas linhas são formadas pelos coeficientes em ordem decrescente de potência (pares e ímpares).
  • A condição necessária e suficiente para estabilidade (para polinômios com coeficientes reais e coeficiente líder positivo) é: todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh devem ter o mesmo sinal (normalmente todos positivos).
  • Se algum elemento da primeira coluna for zero ou uma linha inteira for zero, existem procedimentos especiais; esses casos correspondem a margens de estabilidade (raízes no eixo imaginário) e precisam ser tratados com cuidado.

Passo 3

Montagem das duas primeiras linhas da tabela de Routh com os coeficientes (organização padrão):
\begin{array}{c|ccc} s^{4} & 1 & 4+K & 25\\[4pt]\hline s^{3} & 2 & 9 & 0 \end{array}
Explicação: na linha s^{4} colocam-se os coeficientes de s^{4},s^{2},s^{0}. Na linha s^{3} colocam-se os coeficientes de s^{3},s^{1} e (se necessário) um zero.]

Passo 4

Cálculo da linha s^{2}. Fórmula para o primeiro elemento da linha seguinte:
\text{(primeiro elemento)}=\frac{(\text{primeiro elemento da linha de cima})\cdot(\text{segundo elemento da linha de baixo})-(\text{primeiro elemento da linha de baixo})\cdot(\text{segundo elemento da linha de cima})}{\text{primeiro elemento da linha de cima}}.
Aplicando aos números:
\begin{aligned} \text{elemento }s^{2}_1 &=\frac{2\cdot(4+K)-1\cdot 9}{2} =\frac{8+2K-9}{2}=\frac{2K-1}{2}. \end{aligned}
O segundo elemento da linha s^{2} (usando os próximos termos) é
\text{elemento }s^{2}_2=\frac{2\cdot 25 - 1\cdot 0}{2}=\frac{50}{2}=25.
Então a tabela até agora (apenas primeiras duas colunas relevantes) é
\begin{array}{c|cc} s^{4} & 1 & 4+K\\[4pt]\hline s^{3} & 2 & 9\\[4pt] s^{2} & \dfrac{2K-1}{2} & 25 \end{array}]

Passo 5

Cálculo da linha s^{1}. Usando a mesma fórmula, o primeiro elemento da linha s^{1} é
\begin{aligned} \text{elemento }s^{1}_1 &=\frac{\left(\dfrac{2K-1}{2}\right)\cdot 9 - 2\cdot 25}{\dfrac{2K-1}{2}}. \end{aligned}
Simplificando passo a passo:
\begin{aligned} \text{numerador} &=9\cdot\frac{2K-1}{2}-50=\frac{9(2K-1)-100}{2}=\frac{18K-9-100}{2}=\frac{18K-109}{2},\\[4pt] \text{dividindo pelo denominador }\dfrac{2K-1}{2}&\text{ dá } \text{elemento }s^{1}_1=\frac{\dfrac{18K-109}{2}}{\dfrac{2K-1}{2}}=\frac{18K-109}{2K-1}. \end{aligned}á
O segundo elemento da linha s^{1} será zero (não há termo adicional), então a tabela segue:
\begin{array}{c|c} s^{2} & \dfrac{2K-1}{2}\\[6pt]\hline s^{1} & \dfrac{18K-109}{2K-1} \end{array}]

Passo 6

Linha s^{0}: o último elemento é simplesmente o coeficiente independente
s^{0}: \quad 25.
Assim, a primeira coluna da tabela de Routh (os valores que precisam ser todos positivos para estabilidade) é, em ordem de cima para baixo:
1,\quad 2,\quad \dfrac{2K-1}{2},\quad \dfrac{18K-109}{2K-1},\quad 25.

Passo 7

Condições de positividade e combinação das desigualdades (explicando cada passo):
  • 1>0 e 2>0 e 25>0 já são verdadeiros, então só precisamos garantir que as duas entradas que dependem de K sejam positivas:
    1. \dfrac{2K-1}{2}>0. Isso implica
    2K-1>0 \quad\Rightarrow\quad K>\tfrac{1}{2}.
    1. \dfrac{18K-109}{2K-1}>0. Agora, como já exigimos 2K-1>0 (ou seja K>\tfrac{1}{2}), o denominador é positivo; assim a desigualdade reduz-se a
    18K-109>0 \quad\Rightarrow\quad K>\tfrac{109}{18}.
  • Portanto, combinando as duas condições, a restrição mais forte é K>\tfrac{109}{18}.

Passo 8

Comentários sobre os valores de fronteira (didática e verificação):
  • Para K=\tfrac{109}{18} a entrada \dfrac{18K-109}{2K-1} fica zero; isso sinaliza margem: espera-se pares de raízes no eixo imaginário (margem entre estável e instável). Podemos verificar isso substituindo s=j\omega na equação característica: (j\omega)^4+2(j\omega)^3+(4+K)(j\omega)^2+9(j\omega)+25=0.Separando partes real e imaginária leva a \text{Im: }-2\omega^3+9\omega=0\quad\Rightarrow\quad \omega=0\\ \text{ou}\\ \omega^2=\tfrac{9}{2}.Para \omega^2=\tfrac{9}{2} a parte real fornece, após simplificação, 109-18K=0\quad\Rightarrow\quad K=\tfrac{109}{18},confirmando que em K=\tfrac{109}{18} existem raízes puramente imaginárias (par \pm j\dfrac{3}{\sqrt{2}}), ou seja é exatamente a fronteira de estabilidade (marginal).
  • Para K=\tfrac{1}{2} a entrada \dfrac{2K-1}{2} é zero; nesse caso precisa-se do procedimento especial da tabela de Routh (ou analysis por substituição) para concluir comportamento — nesse ponto não há estabilidade estrita; de qualquer forma o intervalo estritamente estável exige K>\tfrac{109}{18} (maior que a maior das condições críticas).

Resposta

\displaystyle K>\dfrac{109}{18}

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