Usando o critério de Routh, determine se os polinômios característicos a seguir representam sistemas estáveis ou instáveis.
.
Passo 1
O enunciado pede para usar o critério de Routh e decidir se o sistema com polinômio característico
é estável ou instável.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Os coeficientes do polinômio, em ordem decrescente de potência, são
. - A tarefa é construir a tabela de Routh e verificar o número de mudanças de sinal na primeira coluna.
Passo 2
O que é preciso saber (resumão didático do critério de Routh):
- O critério de Routh constrói uma tabela cujas primeiras duas linhas são formadas a partir dos coeficientes do polinômio. A partir daí, cada elemento das linhas seguintes é calculado por uma fórmula que usa elementos das duas linhas superiores.
- Se na primeira coluna da tabela não houver mudança de sinal, então todos os pólos têm parte real negativa e o sistema é estável. Cada mudança de sinal na primeira coluna corresponde a uma raiz com parte real positiva (instabilidade).
- Fórmula usada para calcular um elemento genérico da tabela (cada entrada na linha inferior): se a linha superior tem
e a linha acima dela tem , então o primeiro elemento da nova linha é
Vou aplicar isso passo a passo ao nosso polinômio.
Passo 3
Montagem das duas primeiras linhas (colunas organizadas por pares de coeficientes):
- Linha correspondente a
: coloca-se os coeficientes dos termos de potência par começando em : . Ou seja, a primeira linha é
- Linha correspondente a
: coeficientes dos termos de potência ímpar começando em : . Ou seja,
(Coloquei um zero na terceira coluna por consistência de tamanho; ele não altera os cálculos além de tornar explícito o termo ausente.)
Passo 4
Cálculo da linha
usando a fórmula. Os elementos da linha
serão:
- Primeiro elemento (chamemos de
):
- Segundo elemento (chamemos de
):
Portanto
Passo 5
Cálculo da linha
. Use agora as duas linhas acima:
e
.
- Primeiro elemento (chamemos de
):
- Segundo elemento será zero porque os termos seguintes são nulos:
Passo 6
Cálculo da linha
: quando se chega à última linha de ordem zero, normalmente coloca-se o último coeficiente constante do polinômio (ou calcula-se pela fórmula, que dá o mesmo). Assim:
Passo 7
Agora listamos a primeira coluna inteira (importante para o critério):
-
-
-
-
(positivo, cerca de ) -
Verificando sinais em sequência:
,
,
,
,
. Não há mudança de sinal em nenhum ponto da primeira coluna.
Pelo critério de Routh, número de raízes com parte real positiva = número de mudanças de sinal na primeira coluna. Aqui esse número é zero.
Passo 8
Interpretação final e dica de prova: todas as entradas da primeira coluna são positivas, logo não existem pólos com parte real positiva; todas as raízes estão no semiplano esquerdo. Em prova, basta montar a tabela até a linha
e contar mudanças de sinal na primeira coluna — se nenhuma, é estável.
Resposta
Sistema estável.