Usando o critério de Routh, determine se os polinômios característicos a seguir representam sistemas estáveis ou instáveis.
D(s)=s^{4}+6 s^{3}+18 s^{2}+24 s+16.

Passo 1

O enunciado pede para usar o critério de Routh e decidir se o sistema com polinômio característico
D(s)=s^{4}+6 s^{3}+18 s^{2}+24 s+16
é estável ou instável.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os coeficientes do polinômio, em ordem decrescente de potência, são 1,\;6,\;18,\;24,\;16.
  • A tarefa é construir a tabela de Routh e verificar o número de mudanças de sinal na primeira coluna.

Passo 2

O que é preciso saber (resumão didático do critério de Routh):
  • O critério de Routh constrói uma tabela cujas primeiras duas linhas são formadas a partir dos coeficientes do polinômio. A partir daí, cada elemento das linhas seguintes é calculado por uma fórmula que usa elementos das duas linhas superiores.
  • Se na primeira coluna da tabela não houver mudança de sinal, então todos os pólos têm parte real negativa e o sistema é estável. Cada mudança de sinal na primeira coluna corresponde a uma raiz com parte real positiva (instabilidade).
  • Fórmula usada para calcular um elemento genérico da tabela (cada entrada na linha inferior): se a linha superior tem a_1,\;a_2,\ldots e a linha acima dela tem b_1,\;b_2,\ldots, então o primeiro elemento da nova linha é
\frac{b_1 a_2 - a_1 b_2}{b_1}.
Vou aplicar isso passo a passo ao nosso polinômio.

Passo 3

Montagem das duas primeiras linhas (colunas organizadas por pares de coeficientes):
  • Linha correspondente a s^{4}: coloca-se os coeficientes dos termos de potência par começando em s^4: 1,\;18,\;16. Ou seja, a primeira linha é
\text{linha }s^{4}:\quad 1 \quad 18 \quad 16.
  • Linha correspondente a s^{3}: coeficientes dos termos de potência ímpar começando em s^3: 6,\;24. Ou seja,
\text{linha }s^{3}:\quad 6 \quad 24 \quad 0.
(Coloquei um zero na terceira coluna por consistência de tamanho; ele não altera os cálculos além de tornar explícito o termo ausente.)

Passo 4

Cálculo da linha s^{2} usando a fórmula. Os elementos da linha s^{2} serão:
  • Primeiro elemento (chamemos de a):
a=\frac{6\cdot 18 - 1\cdot 24}{6}=\frac{108-24}{6}=\frac{84}{6}=14.
  • Segundo elemento (chamemos de b):
b=\frac{6\cdot 16 - 1\cdot 0}{6}=\frac{96}{6}=16.
Portanto
\text{linha }s^{2}:\quad 14 \quad 16.

Passo 5

Cálculo da linha s^{1}. Use agora as duas linhas acima: s^{3} e s^{2}.
  • Primeiro elemento (chamemos de c):
c=\frac{14\cdot 24 - 6\cdot 16}{14}=\frac{336-96}{14}=\frac{240}{14}=\frac{120}{7}\approx 17{,}142857\ldots
  • Segundo elemento será zero porque os termos seguintes são nulos:
\text{linha }s^{1}:\quad \frac{120}{7} \quad 0.

Passo 6

Cálculo da linha s^{0}: quando se chega à última linha de ordem zero, normalmente coloca-se o último coeficiente constante do polinômio (ou calcula-se pela fórmula, que dá o mesmo). Assim:
\text{linha }s^{0}:\quad 16.

Passo 7

Agora listamos a primeira coluna inteira (importante para o critério):
  • s^{4}:\;1
  • s^{3}:\;6
  • s^{2}:\;14
  • s^{1}:\;\dfrac{120}{7} (positivo, cerca de 17{,}14)
  • s^{0}:\;16
Verificando sinais em sequência: +, +, +, +, +. Não há mudança de sinal em nenhum ponto da primeira coluna.
Pelo critério de Routh, número de raízes com parte real positiva = número de mudanças de sinal na primeira coluna. Aqui esse número é zero.

Passo 8

Interpretação final e dica de prova: todas as entradas da primeira coluna são positivas, logo não existem pólos com parte real positiva; todas as raízes estão no semiplano esquerdo. Em prova, basta montar a tabela até a linha s^{0} e contar mudanças de sinal na primeira coluna — se nenhuma, é estável.

Resposta

Sistema estável.

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