Usando o critério de Routh, determine se os polinômios característicos a seguir representam sistemas estáveis ou instáveis.
D(s)=s^{4}+2 s^{3}+2 s^{2}+10 s+25.

Passo 1

O enunciado fornece o polinômio característico
D(s)=s^{4}+2s^{3}+2s^{2}+10s+25.
O que se pede: determinar se o sistema associado a esse polinômio é estável ou instável (ou seja, se todas as raízes de D(s) têm parte real negativa ou não). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Grau do polinômio: 4.
  • Coeficientes (em ordem decrescente de potência): 1,\;2,\;2,\;10,\;25.

Passo 2

Explicando o critério de Routh de forma bem didática (a “ferramenta” que vamos usar):
  • A ideia do critério de Routh é montar um arranjo em linhas (a “tabela de Routh”) a partir dos coeficientes de D(s). O número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela é igual ao número de raízes de D(s) com parte real positiva (raízes no semiplano direito), que indica instabilidade.
  • Condição prática: se todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh forem positivos (assumindo coeficiente líder positivo, como aqui), então todas as raízes têm parte real negativa e o sistema é estável. Caso contrário, o número de mudanças de sinal na primeira coluna indica quantas raízes têm parte real positiva.
  • Como montar as duas primeiras linhas (explicação da regra):
    • A linha de s^{n} (a primeira linha) contém os coeficientes das potências pares começando pelo coeficiente de s^{n}: coeficiente de s^{n}, coeficiente de s^{n-2}, coeficiente de s^{n-4}, \ldots .
    • A linha de s^{n-1} (a segunda linha) contém os coeficientes das potências ímpares: coeficiente de s^{n-1}, coeficiente de s^{n-3}, coeficiente de s^{n-5}, \ldots.
  • Fórmula para calcular um elemento da linha seguinte: se a linha superior (mais alta) tem entradas a_1,a_2,\ldots e a linha imediatamente abaixo tem entradas b_1,b_2,\ldots, então o primeiro elemento da próxima linha é
c_1=\frac{b_1 a_2 - a_1 b_2}{b_1}.
E assim sucessivamente para os elementos seguintes (sempre usando a mesma fórmula deslocando índices). Vou usar essa fórmula com valores concretos abaixo.

Passo 3

Montagem da tabela de Routh para D(s). Primeiro identifico as duas primeiras linhas com os coeficientes dados:
  • Linha s^{4}: coeficientes de s^{4},s^{2},s^{0} dão
\text{linha }s^{4}:\quad 1,\;2,\;25.
  • Linha s^{3}: coeficientes de s^{3},s^{1} dão
\text{linha }s^{3}:\quad 2,\;10.
Agora calculo a linha s^{2} usando a fórmula explicada. Denotando a_1=1,\;a_2=2,\ldots da linha s^{4} e b_1=2,\;b_2=10 da linha s^{3}:
  • Primeiro elemento de s^{2}:
\begin{aligned} b_1 &= 2,\\\ a_1 &= 1,\\\ a_2 &= 2,\\\ b_2 &= 10,\\\ \text{logo } &\quad \text{(primeiro elemento de }s^{2})=\frac{b_1 a_2 - a_1 b_2}{b_1} =\frac{2\cdot 2 - 1\cdot 10}{2}=\frac{4-10}{2}=\frac{-6}{2}=-3. \end{aligned}
  • Segundo elemento de s^{2}: usamos a mesma fórmula com o “próximo par” (a terceira coluna da linha s^{4} e “próxima” da linha s^{3}; como não há terceiro elemento em s^{3}, usamos zero para esse termo):
\text{segundo elemento de }s^{2}=\frac{b_1\cdot 25 - a_1\cdot 0}{b_1}=\frac{2\cdot 25 - 1\cdot 0}{2}=\frac{50}{2}=25.
Portanto
\text{linha }s^{2}:\quad -3,\;25.

Passo 4

Calculo a linha s^{1} a partir das linhas s^{2} (que tem b_1=-3,\;b_2=25) e s^{3} (que tem a_1=2,\;a_2=10), aplicando a mesma fórmula:
  • Primeiro elemento de s^{1}:
\begin{aligned} b_1 &= -3,\\\ a_1 &= 2,\\\ a_2 &= 10,\\\ b_2 &= 25,\\\ \text{então }&\quad \text{(primeiro elemento de }s^{1})=\frac{b_1 a_2 - a_1 b_2}{b_1} =\frac{(-3)\cdot 10 - 2\cdot 25}{-3}=\frac{-30-50}{-3}=\frac{-80}{-3}=\frac{80}{3}. \end{aligned}ã
  • Segundo elemento de s^{1}: será zero porque não há elementos além de 25 na linha s^{2} correspondentes à próxima coluna:
\text{segundo elemento de }s^{1}=0.
Portanto
\text{linha }s^{1}:\quad \frac{80}{3},\;0.

Passo 5

Finalmente a linha s^{0} contém o termo constante do polinômio (ou pode ser calculada pela fórmula a partir das duas linhas acima). Aqui o valor é
\text{linha }s^{0}:\quad 25.
Agora extraio a primeira coluna da tabela (os elementos que interessam para contar mudanças de sinal). A primeira coluna, de cima para baixo, é:
1,\quad 2,\quad -3,\quad \frac{80}{3},\quad 25.

Passo 6

Interpretação: conto as mudanças de sinal na primeira coluna:
  • De 1 para 2: sem mudança de sinal (positivo para positivo).
  • De 2 para -3: mudança de sinal (positivo para negativo) — conta 1.
  • De -3 para \tfrac{80}{3}: mudança de sinal (negativo para positivo) — conta 2.
  • De \tfrac{80}{3} para 25: sem mudança de sinal (positivo para positivo).
Total de mudanças de sinal: 2. Pelo critério de Routh, isso significa que existem exatamente 2 raízes de D(s) com parte real positiva (dois pólos no semiplano direito), portanto o sistema não é estável.

Resposta

Instável — existem 2 raízes com parte real positiva.

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