Usando o critério de Routh, determine se os polinômios característicos a seguir representam sistemas estáveis ou instáveis.
.
Passo 1
O enunciado fornece o polinômio característico
O que se pede: determinar se o sistema associado a esse polinômio é estável ou instável (ou seja, se todas as raízes de
têm parte real negativa ou não). Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Grau do polinômio:
. - Coeficientes (em ordem decrescente de potência):
.
Passo 2
Explicando o critério de Routh de forma bem didática (a “ferramenta” que vamos usar):
- A ideia do critério de Routh é montar um arranjo em linhas (a “tabela de Routh”) a partir dos coeficientes de
. O número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela é igual ao número de raízes de com parte real positiva (raízes no semiplano direito), que indica instabilidade. - Condição prática: se todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh forem positivos (assumindo coeficiente líder positivo, como aqui), então todas as raízes têm parte real negativa e o sistema é estável. Caso contrário, o número de mudanças de sinal na primeira coluna indica quantas raízes têm parte real positiva.
- Como montar as duas primeiras linhas (explicação da regra):
- A linha de
(a primeira linha) contém os coeficientes das potências pares começando pelo coeficiente de : coeficiente de , coeficiente de , coeficiente de , . - A linha de
(a segunda linha) contém os coeficientes das potências ímpares: coeficiente de , coeficiente de , coeficiente de , .
- A linha de
- Fórmula para calcular um elemento da linha seguinte: se a linha superior (mais alta) tem entradas
e a linha imediatamente abaixo tem entradas , então o primeiro elemento da próxima linha é
E assim sucessivamente para os elementos seguintes (sempre usando a mesma fórmula deslocando índices). Vou usar essa fórmula com valores concretos abaixo.
Passo 3
Montagem da tabela de Routh para
. Primeiro identifico as duas primeiras linhas com os coeficientes dados:
- Linha
: coeficientes de dão
- Linha
: coeficientes de dão
Agora calculo a linha
usando a fórmula explicada. Denotando
da linha
e
da linha
:
- Primeiro elemento de
:
- Segundo elemento de
: usamos a mesma fórmula com o “próximo par” (a terceira coluna da linha e “próxima” da linha ; como não há terceiro elemento em , usamos zero para esse termo):
Portanto
Passo 4
Calculo a linha
a partir das linhas
(que tem
) e
(que tem
), aplicando a mesma fórmula:
- Primeiro elemento de
:
- Segundo elemento de
: será zero porque não há elementos além de na linha correspondentes à próxima coluna:
Portanto
Passo 5
Finalmente a linha
contém o termo constante do polinômio (ou pode ser calculada pela fórmula a partir das duas linhas acima). Aqui o valor é
Agora extraio a primeira coluna da tabela (os elementos que interessam para contar mudanças de sinal). A primeira coluna, de cima para baixo, é:
Passo 6
Interpretação: conto as mudanças de sinal na primeira coluna:
- De
para : sem mudança de sinal (positivo para positivo). - De
para : mudança de sinal (positivo para negativo) — conta . - De
para : mudança de sinal (negativo para positivo) — conta . - De
para : sem mudança de sinal (positivo para positivo).
Total de mudanças de sinal:
. Pelo critério de Routh, isso significa que existem exatamente
raízes de
com parte real positiva (dois pólos no semiplano direito), portanto o sistema não é estável.
Resposta
Instável — existem
raízes com parte real positiva.