7.21 A corrente eficaz em uma dada impedância é 18 ampères e acarreta 3500 volt-ampères com fator de poténcia 0,/6 atrasado. Calcular a impedāncia. Resp.: 8,21 + j7,0.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede a impedância complexa da carga:
  • Corrente eficaz (rms): I_{\text{rms}} = 18\\ \text{A}.
  • Potência aparente: |S| = 3500\\ \text{VA}.
  • Fator de potência: \text{pf} = 0,6 (atrasado, ou seja, indutivo).
  • Pergunta: calcular a impedância complexa Z da carga (valor em ohms, na forma R + jX).

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais (aulas rápidas):
  • Potência aparente |S| é a norma da potência complexa S. Em circuitos de corrente alternada,
S = P + jQ,
onde P é a potência ativa (W) e Q é a potência reativa (VAR).
  • O fator de potência é definido por
\text{pf} = \cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo de defasagem entre tensão e corrente. Para pf atrasado (indutivo), \varphi>0.
  • Relações importantes:
P = |S|\cdot\text{pf},
Q = |S|\cdot\sin\varphi.
  • Relação entre potência complexa e impedância quando conhecemos a corrente:
S = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}^* = Z\,|I_{\text{rms}}|^2,
já que V_{\text{rms}} = Z I_{\text{rms}} e I_{\text{rms}} I_{\text{rms}}^* = |I_{\text{rms}}|^2.
Portanto, para encontrar Z basta usar
Z = \frac{S}{|I_{\text{rms}}|^2} = \frac{P + jQ}{I_{\text{rms}}^2}.
(Nesta expressão I_{\text{rms}}^2 é o quadrado da magnitude da corrente eficaz.)

Passo 3

Calcular P (potência ativa):
P = |S|\cdot\text{pf} = 3500 \cdot 0,6 = 2100\\ \text{W}.
Explicação rápida: multiplicamos a potência aparente pelo cosseno do ângulo (pf) para obter a potência que realmente é dissipada/convertida em trabalho.

Passo 4

Determinar \varphi e calcular \sin\varphi para obter Q:
  • Primeiro \varphi = \operatorname{arccos}(\text{pf}) = \operatorname{arccos}(0,6).
  • Sabendo que \sin\varphi = \sqrt{1-\cos^2\varphi}, temos \sin\varphi = \sqrt{1-0,6^2} = \sqrt{1-0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8.
    Portanto,
Q = |S|\cdot\sin\varphi = 3500 \cdot 0,8 = 2800\\ \text{VAR}.
Como o fator é atrasado, Q é positivo (reatância indutiva).

Passo 5

Montar a potência complexa S:
S = P + jQ = 2100 + j2800\\ \text{VA}.
Explicação: isto representa que, por unidade de tempo, a carga consome 2100\\ \text{W} e armazena/retorna energia reativa de 2800\\ \text{VAR}.

Passo 6

Aplicar a fórmula Z = S / I_{\text{rms}}^2:
  • Calcular I_{\text{rms}}^2 = 18^2 = 324.
  • Então
Z = \frac{2100 + j2800}{324}.
Agora dividimos as partes real e imaginária separadamente.

Passo 7

Fazer as divisões e arredondar com cuidado:
\frac{2100}{324} = 6,481481\ldots \approx 6,48,
\frac{2800}{324} = 8,641975\ldots \approx 8,64.
Logo
Z \approx 6,48 + j8,64\\ \Omega.
Explicação: dividimos a potência ativa e reativa pelo quadrado da corrente eficaz para obter a resistência equivalente R e a reatância X da carga.

Passo 8

Verificações rápidas (para entender melhor):
  • Módulo de Z:
|Z| = \sqrt{6,48^2 + 8,64^2} \approx 10,80\\ \Omega.
  • Ângulo de Z:
\angle Z = \arctan\!\left(\frac{8,64}{6,48}\right) \approx 53,13^\circ,
e \cos(53,13^\circ)\approx 0,6, que confere com o fator de potência dado. Tudo consistente.

Resposta

6,48 + j8,64\\ \Omega

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