Seja
uma função de duas variáveis reais definida por
a) Encontre o domínio
de
, e desenhe algumas curvas de nível de
baseando-se nas correspondentes equações cartesianas.
b) Determine a equação cartesiana da reta em
que passa pela origem ( 0,0 ) na direção de maior variação de
. UNIFEI). Julho de 2024.
b) Determine a equação cartesiana da reta em
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas:
a) Encontrar o domínio
de
e desenhar (descrever) algumas curvas de nível, baseando-se nas equações cartesianas correspondentes.
b) Determinar a equação cartesiana da reta em
que passa pela origem
na direção de maior variação de
.
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de
no enunciado. Nada mais é fornecido (não há figura escondida). A resolução começa a partir dessa expressão.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da raiz para ver sua forma geométrica — isso facilita achar domínio e curvas de nível. Expandindo
e agrupando termos:
Agora vamos completar quadrados (ou reescrever em termos de
e
). Observe:
Substituindo:
Portanto a função fica simplesmente
Interpretação:
é a distância euclidiana do ponto
ao ponto
.
Passo 3
Determinar o domínio
.
A função raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo. Mas o argumento que encontramos é
que é soma de quadrados e, portanto, é sempre
para todo
. Logo não há restrição — a raiz está bem definida para todo par real
.
Conclusão intermediária (domínio):
.
Observação: o argumento é zero somente quando
, isto é, em
. Nesse ponto
.
Passo 4
Curvas de nível: definição e equação cartesiana.
Uma curva de nível para valor
é o conjunto de pontos
tais que
. Começamos com a equação
Elevando ao quadrado (lembrando que a raiz é não-negativa, logo
deve satisfazer
) obtemos
Portanto as curvas de nível são círculos centrados em
com raio
. Casos particulares:
- Para
: a curva de nível é o ponto . - Para
: a circunferência . - Para
: a circunferência . - Em geral, para qualquer
, círculo de raio centrado em .
Se o professor pedir para desenhar, você desenha círculos concêntricos com centro em
; quanto maior
, maior o círculo.
Passo 5
Agora vamos para a parte (b): direção de maior variação de
em um ponto e a reta que passa pela origem nessa direção.
Conceito importante (explicado de forma simples): a direção de maior crescimento de uma função real diferenciável de duas variáveis é dada pelo vetor gradiente
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Propriedade útil: a derivada direcional máxima tem módulo igual a
e ocorre na direção de
. Em outras palavras, movendo-se na direção do gradiente em um ponto,
aumenta mais rapidamente do que em qualquer outra direção.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Temos
. Use a regra da cadeia:
Para
temos
e
. Como
,
Analogamente,
Portanto o gradiente é
válido para todo ponto exceto
(onde o denominador fica zero e a direção não está definida — isso é natural para a função distância do centro).
Passo 7
Avaliação do gradiente na origem
.
Primeiro calcule o denominador em
:
Agora as componentes:
Logo
Interpretação geométrica: no ponto
a direção de maior crescimento de
é a direção do vetor
(o fator
só normaliza). Esse vetor aponta radialmente para longe do ponto
— faz sentido, porque para aumentar a distância até
partindo de
devemos afastar-nos na direção
.
Passo 8
Equação da reta em
que passa pela origem na direção de maior variação.
A reta que passa por
com direção
tem equação paramétrica
Podemos multiplicar o vetor direcional por
(direção não muda), ou usar o vetor direcional
. A forma cartesiana é obtida eliminando o parâmetro: como as componentes satisfazem
(pois
e
têm mesma razão), a equação cartesiana da reta é
Observação: apesar do vetor gradiente em
ter coordenadas negativas, a reta através da origem na direção desse vetor é a mesma reta
(a reta é determinada pela direção, não pelo sentido). A reta
passa por
e contém o vetor
e também
.
Passo 9
Resumo didático rápido para prova (como aplicar em questões semelhantes):
- Sempre que aparecer uma raiz com soma de quadrados, tente completar quadrados para identificar distâncias/círculos.
- Para curvas de nível, iguale
a uma constante e resolva; lembre-se que, no caso de raiz, deve ser . - Para direção de maior variação, calcule
(derivadas parciais) e avalie no ponto pedido; a reta procurada passa pelo ponto dado com direção (ou qualquer múltiplo do mesmo vetor). - Cuidado com pontos onde o denominador do gradiente zera (p.ex. centro da distância) — aí a direção não está definida.
Resposta
a)
Curvas de nível:
, com
(círculos centrados em
, raio
).\n
b) Equação cartesiana da reta: .
b) Equação cartesiana da reta: