Seja f uma função de duas variáveis reais definida por
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}-2 x+1}
a) Encontre o domínio D de f, e desenhe algumas curvas de nível de f baseando-se nas correspondentes equações cartesianas.
b) Determine a equação cartesiana da reta em D que passa pela origem ( 0,0 ) na direção de maior variação de f. UNIFEI). Julho de 2024.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}-2x+1}
e pede duas coisas:
a) Encontrar o domínio D de f e desenhar (descrever) algumas curvas de nível, baseando-se nas equações cartesianas correspondentes.
b) Determinar a equação cartesiana da reta em D que passa pela origem (0,0) na direção de maior variação de f.
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de f(x,y) no enunciado. Nada mais é fornecido (não há figura escondida). A resolução começa a partir dessa expressão.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da raiz para ver sua forma geométrica — isso facilita achar domínio e curvas de nível. Expandindo (y-1)^2 e agrupando termos:
\begin{aligned} x^{2}+(y-1)^{2}-2x+1 &= x^{2} + (y^{2}-2y+1) -2x +1 \\\ &= x^{2}-2x + y^{2}-2y +2. \end{aligned}
Agora vamos completar quadrados (ou reescrever em termos de (x-1)^2 e (y-1)^2). Observe:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1,\qquad y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1.
Substituindo:
\begin{aligned} x^{2}-2x + y^{2}-2y +2 &= \big((x-1)^{2}-1\big) + \big((y-1)^{2}-1\big) +2 \\\ &= (x-1)^{2} + (y-1)^{2}. \end{aligned}
Portanto a função fica simplesmente
f(x,y)=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}.
Interpretação: f(x,y) é a distância euclidiana do ponto (x,y) ao ponto (1,1).

Passo 3

Determinar o domínio D.
A função raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo. Mas o argumento que encontramos é
(x-1)^{2}+(y-1)^{2},
que é soma de quadrados e, portanto, é sempre \ge 0 para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Logo não há restrição — a raiz está bem definida para todo par real (x,y).
Conclusão intermediária (domínio): D=\mathbb{R}^{2}.
Observação: o argumento é zero somente quando (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=0, isto é, em (x,y)=(1,1). Nesse ponto f(1,1)=0.

Passo 4

Curvas de nível: definição e equação cartesiana.
Uma curva de nível para valor c é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c. Começamos com a equação
f(x,y)=c \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}} = c.
Elevando ao quadrado (lembrando que a raiz é não-negativa, logo c deve satisfazer c\ge 0) obtemos
(x-1)^{2}+(y-1)^{2} = c^{2},\qquad c\ge 0.
Portanto as curvas de nível são círculos centrados em (1,1) com raio c. Casos particulares:
  • Para c=0: a curva de nível é o ponto (1,1).
  • Para c=1: a circunferência (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1.
  • Para c=2: a circunferência (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=4.
  • Em geral, para qualquer c>0, círculo de raio c centrado em (1,1).
Se o professor pedir para desenhar, você desenha círculos concêntricos com centro em (1,1); quanto maior c, maior o círculo.

Passo 5

Agora vamos para a parte (b): direção de maior variação de f em um ponto e a reta que passa pela origem nessa direção.
Conceito importante (explicado de forma simples): a direção de maior crescimento de uma função real diferenciável de duas variáveis é dada pelo vetor gradiente \nabla f. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Propriedade útil: a derivada direcional máxima tem módulo igual a \|\nabla f\| e ocorre na direção de \nabla f. Em outras palavras, movendo-se na direção do gradiente em um ponto, f aumenta mais rapidamente do que em qualquer outra direção.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Temos f(x,y)=\big((x-1)^{2}+(y-1)^{2}\big)^{1/2}. Use a regra da cadeia:
Para g(x,y)=(x-1)^{2}+(y-1)^{2} temos \partial g/\partial x = 2(x-1) e \partial g/\partial y = 2(y-1). Como f=(g)^{1/2},
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} g^{-1/2}\cdot \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{g}}\cdot 2(x-1) = \frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}}.
Analogamente,
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y-1}{\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}}.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=\left(\frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}},\;\frac{y-1}{\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}}\right),
válido para todo ponto exceto (1,1) (onde o denominador fica zero e a direção não está definida — isso é natural para a função distância do centro).

Passo 7

Avaliação do gradiente na origem (0,0).
Primeiro calcule o denominador em (0,0):
\sqrt{(0-1)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Agora as componentes:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{0-1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\frac{0-1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo
\nabla f(0,0)=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Interpretação geométrica: no ponto (0,0) a direção de maior crescimento de f é a direção do vetor (-1,-1) (o fator 1/\sqrt{2} só normaliza). Esse vetor aponta radialmente para longe do ponto (1,1) — faz sentido, porque para aumentar a distância até (1,1) partindo de (0,0) devemos afastar-nos na direção (-1,-1).

Passo 8

Equação da reta em D que passa pela origem na direção de maior variação.
A reta que passa por (0,0) com direção v=\nabla f(0,0)=(-1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2}) tem equação paramétrica
(x,y) = t\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\qquad t\in\mathbb{R}.
Podemos multiplicar o vetor direcional por \sqrt{2} (direção não muda), ou usar o vetor direcional (-1,-1). A forma cartesiana é obtida eliminando o parâmetro: como as componentes satisfazem y=x (pois -1 e -1 têm mesma razão), a equação cartesiana da reta é
y=x.
Observação: apesar do vetor gradiente em (0,0) ter coordenadas negativas, a reta através da origem na direção desse vetor é a mesma reta y=x (a reta é determinada pela direção, não pelo sentido). A reta y=x passa por (0,0) e contém o vetor (-1,-1) e também (1,1).

Passo 9

Resumo didático rápido para prova (como aplicar em questões semelhantes):
  • Sempre que aparecer uma raiz com soma de quadrados, tente completar quadrados para identificar distâncias/círculos.
  • Para curvas de nível, iguale f(x,y) a uma constante c e resolva; lembre-se que, no caso de raiz, c deve ser \ge 0.
  • Para direção de maior variação, calcule \nabla f (derivadas parciais) e avalie no ponto pedido; a reta procurada passa pelo ponto dado com direção \nabla f (ou qualquer múltiplo do mesmo vetor).
  • Cuidado com pontos onde o denominador do gradiente zera (p.ex. centro da distância) — aí a direção não está definida.

Resposta

a) D=\mathbb{R}^{2}. Curvas de nível: (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=c^{2}, com c\ge 0 (círculos centrados em (1,1), raio c).\n
b) Equação cartesiana da reta: y=x.

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