a) Encontre a velocidade
da mosca.
b) Determine as funções
e
tais que
.
c) Calcule o seguinte limite
d) Baseando-se em sua resposta ao item anterior, determine a que trajetória tende o movimento da mosca, à medida que o tempo avança.
b) Determine as funções
c) Calcule o seguinte limite
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
- (a) Encontrar a velocidade
da mosca. - (b) Determinar funções
e tais que . - (c) Calcular
. - (d) A partir do item (c), decidir a que trajetória o movimento da mosca tende quando
.
Informações fornecidas no enunciado: o enunciado que você me mandou NÃO contém a expressão explícita de
.
Por isso, não há dados numéricos ou funções específicas para calcular valores concretos. À vista disso, não é possível calcular resultados numéricos concretos para (a)–(d).
A partir daqui vou: (i) explicar passo a passo, de forma didática, como resolver cada item para o caso geral em que tem componentes
; (ii) dar as fórmulas gerais e os raciocínios que você poderá aplicar imediatamente na prova se
for dada.
Por isso, não há dados numéricos ou funções específicas para calcular valores concretos. À vista disso, não é possível calcular resultados numéricos concretos para (a)–(d).
A partir daqui vou: (i) explicar passo a passo, de forma didática, como resolver cada item para o caso geral em que
Passo 2
Vamos representar a posição da mosca por uma função vetorial genérica e simples de manipular. Suponha que
onde
são funções reais de
. Aqui cada componente significa:
-
= coordenada da mosca no instante , -
= coordenada da mosca no instante , -
= coordenada da mosca no instante .
Isto é apenas uma forma padrão de escrever um vetor em
. Sempre que você receber
na prova, escreva-a assim (ou extraia as suas componentes dessa forma).
Passo 3
Como se calcula a velocidade de uma função vetorial? Regra prática e intuitiva: diferencie cada componente em relação a
. A derivada é feita componente a componente (mesmo esquema da derivada de um vetor de coordenadas).
Se
, então
Explicando:
e o mesmo para
. Isso vem direto da definição de derivada para funções vetoriais e é o que você deve aplicar na prova passo a passo (diferencie
separadamente).
Exemplo simples (para fixar): se
então
Siga esse mesmo procedimento com a
que seu professor der.
Passo 4
Agora a decomposição pedida em (b): escrever
como soma de um vetor no plano
e um escalar vezes
(vetor unitário na direção
).
Defina
Então
e somando
Isto é exatamente a decomposição pedida:
é a projeção de
no plano
(o “traço” no plano
) e
é a altura
.
Dica prática para a prova: ao ver
qualquer, identifique imediatamente as três componentes e ponha a componente
como
e as duas primeiras como
com terceira componente zero.
Passo 5
Agora o item (c): calcular
Primeiro calcule a diferença:
Logo a norma desse vetor (norma euclidiana) é simplesmente o valor absoluto da componente
:
Portanto
desde que esse limite exista (se o limite de
não existir, o limite da norma também não existe, salvo casos patológicos em que as oscilações levem a um limite de módulo — mas em geral depende de
).
Exemplos rápidos:
- Se
então e o limite é . - Se
então o limite é . - Se
constante, o limite é . - Se
o limite não existe (oscila), então o limite pedido não existe.
Passo 6
Item (d): interpretar geometricamente o que essas conclusões significam para a trajetória quando
.
-
Se
, então . Isso quer dizer que a mosca, à medida que o tempo avança, aproxima-se cada vez mais da curva que está contida no plano . Em linguagem de trajetória: o movimento tende à curva no plano . -
Se
com finito (não necessariamente zero), então
e a mosca tende a uma curva paralela a
, deslocada na direção
por
: a trajetória limite é
.
- Se
não existe (por exemplo oscilações), então não existe uma única trajetória limite simples: a mosca não converge para uma curva fixa do tipo . Pode-se dizer apenas que a componente vertical não se estabiliza.
Resumo prático para a prova: verifique o limite de
. Se for
, a trajetória tende à projeção no plano
; se for
, tende à projeção deslocada em
; se não existir, não existe limite de trajetória.
Passo 7
Concluindo: por falta da expressão explícita de
no enunciado que você me mandou, não posso fornecer números ou funções específicas como respostas finais concretas. Porém, dei todas as fórmulas e o procedimento passo a passo que você precisa aplicar assim que tiver
. Para recapitular em forma direta e aplicável na prova, veja as fórmulas finais gerais no próximo passo.
Resposta
a)
(se
).
b) e
, pois
.
c) (se esse limite existir).
d) Se então o movimento tende à curva
(no plano
). Se
então tende à curva
. Se
não existe, não há uma única trajetória limite.
b)
c)
d) Se