a) Encontre a velocidade \mathbf{r}^{\prime}(t) da mosca.
b) Determine as funções \mathbf{p}(t) e f(t) tais que \mathbf{r}(t)=\mathbf{p}(t)+f(t) \mathbf{k}.
c) Calcule o seguinte limite
\lim _{t \rightarrow \infty}\|\mathbf{r}(t)-\mathbf{p}(t)\|
d) Baseando-se em sua resposta ao item anterior, determine a que trajetória tende o movimento da mosca, à medida que o tempo avança.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  1. (a) Encontrar a velocidade \mathbf{r}'(t) da mosca.
  2. (b) Determinar funções \mathbf{p}(t) e f(t) tais que \mathbf{r}(t)=\mathbf{p}(t)+f(t)\mathbf{k}.
  3. (c) Calcular \displaystyle \lim_{t\to\infty}\|\mathbf{r}(t)-\mathbf{p}(t)\|.
  4. (d) A partir do item (c), decidir a que trajetória o movimento da mosca tende quando t\to\infty.
Informações fornecidas no enunciado: o enunciado que você me mandou NÃO contém a expressão explícita de \mathbf{r}(t).
Por isso, não há dados numéricos ou funções específicas para calcular valores concretos. À vista disso, não é possível calcular resultados numéricos concretos para (a)–(d).
A partir daqui vou: (i) explicar passo a passo, de forma didática, como resolver cada item para o caso geral em que \mathbf{r}(t) tem componentes x(t),y(t),z(t); (ii) dar as fórmulas gerais e os raciocínios que você poderá aplicar imediatamente na prova se \mathbf{r}(t) for dada.

Passo 2

Vamos representar a posição da mosca por uma função vetorial genérica e simples de manipular. Suponha que
\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr),
onde x(t),y(t),z(t) são funções reais de t. Aqui cada componente significa:
  • x(t) = coordenada x da mosca no instante t,
  • y(t) = coordenada y da mosca no instante t,
  • z(t) = coordenada z da mosca no instante t.
Isto é apenas uma forma padrão de escrever um vetor em \mathbb{R}^3. Sempre que você receber \mathbf{r}(t) na prova, escreva-a assim (ou extraia as suas componentes dessa forma).

Passo 3

Como se calcula a velocidade de uma função vetorial? Regra prática e intuitiva: diferencie cada componente em relação a t. A derivada é feita componente a componente (mesmo esquema da derivada de um vetor de coordenadas).
Se \mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr), então
\mathbf{r}'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\bigr).
Explicando: x'(t)=\dfrac{d}{dt}x(t) e o mesmo para y'(t),z'(t). Isso vem direto da definição de derivada para funções vetoriais e é o que você deve aplicar na prova passo a passo (diferencie x,y,z separadamente).
Exemplo simples (para fixar): se \mathbf{r}(t)=(t^2,\sin t,e^{-t}) então
\mathbf{r}'(t)=(2t,\cos t,-e^{-t}).
Siga esse mesmo procedimento com a \mathbf{r}(t) que seu professor der.

Passo 4

Agora a decomposição pedida em (b): escrever \mathbf{r}(t) como soma de um vetor no plano xy e um escalar vezes \mathbf{k} (vetor unitário na direção z).
Defina
\mathbf{p}(t)=\bigl(x(t),\,y(t),\,0\bigr) \qquad\text{e}\qquad f(t)=z(t).
Então
f(t)\mathbf{k}=z(t)\mathbf{k}=\bigl(0,0,z(t)\bigr),
e somando
\mathbf{p}(t)+f(t)\mathbf{k}=\bigl(x(t),y(t),0\bigr)+\bigl(0,0,z(t)\bigr)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=\mathbf{r}(t).
Isto é exatamente a decomposição pedida: \mathbf{p}(t) é a projeção de \mathbf{r}(t) no plano z=0 (o “traço” no plano xy) e f(t) é a altura z(t).
Dica prática para a prova: ao ver \mathbf{r}(t) qualquer, identifique imediatamente as três componentes e ponha a componente z como f(t) e as duas primeiras como \mathbf{p}(t) com terceira componente zero.

Passo 5

Agora o item (c): calcular
\lim_{t\to\infty}\|\mathbf{r}(t)-\mathbf{p}(t)\|.
Primeiro calcule a diferença:
\mathbf{r}(t)-\mathbf{p}(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)-\bigl(x(t),y(t),0\bigr)=\bigl(0,0,z(t)\bigr)=z(t)\mathbf{k}=f(t)\mathbf{k}.
Logo a norma desse vetor (norma euclidiana) é simplesmente o valor absoluto da componente z:
\|\mathbf{r}(t)-\mathbf{p}(t)\|=\lvert z(t)\rvert=\lvert f(t)\rvert.
Portanto
\lim_{t\to\infty}\|\mathbf{r}(t)-\mathbf{p}(t)\|=\lim_{t\to\infty}\lvert z(t)\rvert=\lim_{t\to\infty}\lvert f(t)\rvert,
desde que esse limite exista (se o limite de z(t) não existir, o limite da norma também não existe, salvo casos patológicos em que as oscilações levem a um limite de módulo — mas em geral depende de \lim z(t)).
Exemplos rápidos:
  • Se z(t)=e^{-t} então \lvert z(t)\rvert=e^{-t} e o limite é 0.
  • Se z(t)=\dfrac{1}{1+t} então o limite é 0.
  • Se z(t)=2 constante, o limite é 2.
  • Se z(t)=\sin t o limite não existe (oscila), então o limite pedido não existe.

Passo 6

Item (d): interpretar geometricamente o que essas conclusões significam para a trajetória quando t\to\infty.
  • Se \displaystyle \lim_{t\to\infty} f(t)=\lim_{t\to\infty} z(t)=0, então \|\mathbf{r}(t)-\mathbf{p}(t)\|\to 0. Isso quer dizer que a mosca, à medida que o tempo avança, aproxima-se cada vez mais da curva \mathbf{p}(t) que está contida no plano z=0. Em linguagem de trajetória: o movimento tende à curva \mathbf{p}(t) no plano xy.
  • Se \displaystyle \lim_{t\to\infty} f(t)=L com L finito (não necessariamente zero), então
\|\mathbf{r}(t)-\mathbf{p}(t)\| \to \lvert L\rvert,
e a mosca tende a uma curva paralela a \mathbf{p}(t), deslocada na direção z por L: a trajetória limite é \mathbf{p}(t)+L\mathbf{k}.
  • Se \displaystyle \lim_{t\to\infty} f(t) não existe (por exemplo oscilações), então não existe uma única trajetória limite simples: a mosca não converge para uma curva fixa do tipo \mathbf{p}(t)+\text{const}\cdot\mathbf{k}. Pode-se dizer apenas que a componente vertical não se estabiliza.
Resumo prático para a prova: verifique o limite de z(t). Se for 0, a trajetória tende à projeção no plano xy; se for L, tende à projeção deslocada em L; se não existir, não existe limite de trajetória.

Passo 7

Concluindo: por falta da expressão explícita de \mathbf{r}(t) no enunciado que você me mandou, não posso fornecer números ou funções específicas como respostas finais concretas. Porém, dei todas as fórmulas e o procedimento passo a passo que você precisa aplicar assim que tiver \mathbf{r}(t). Para recapitular em forma direta e aplicável na prova, veja as fórmulas finais gerais no próximo passo.

Resposta

a) \mathbf{r}'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\bigr) (se \mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)).
b) \mathbf{p}(t)=\bigl(x(t),\,y(t),\,0\bigr) e f(t)=z(t), pois \mathbf{r}(t)=\mathbf{p}(t)+f(t)\mathbf{k}.
c) \displaystyle \lim_{t\to\infty}\|\mathbf{r}(t)-\mathbf{p}(t)\|=\lim_{t\to\infty}\lvert z(t)\rvert=\lim_{t\to\infty}\lvert f(t)\rvert (se esse limite existir).
d) Se \lim_{t\to\infty}f(t)=0 então o movimento tende à curva \mathbf{p}(t) (no plano z=0). Se \lim_{t\to\infty}f(t)=L então tende à curva \mathbf{p}(t)+L\mathbf{k}. Se \lim_{t\to\infty}f(t) não existe, não há uma única trajetória limite.

Exercícios relacionados