21- Deduza as seguintes relações para escoamentos com a presença de onda de choque normal (1 é antes da onda de choque e 2 é depois da onda de choque):
\begin{aligned} M_{2}^{2} & =\frac{1+[(\gamma-1) / 2] M_{1}^{2}}{\gamma M_{1}^{2}-(\gamma-1) / 2} \\ \frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}=\frac{u_{1}}{u_{2}} & =\frac{(\gamma+1) M_{1}^{2}}{2+(\gamma-1) M_{1}^{2}} \\ \frac{p_{2}}{p_{1}} & =1+\frac{2 \gamma}{\gamma+1}\left(M_{1}^{2}-1\right) \\ \frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{h_{2}}{h_{1}} & =\left[1+\frac{2 \gamma}{\gamma+1}\left(M_{1}^{2}-1\right)\right]\left[\frac{2+(\gamma-1) M_{1}^{2}}{(\gamma+1) M_{1}^{2}}\right] \\ s_{2}-s_{1} & =c_{p} \ln \left\{\left[1+\frac{2 \gamma}{\gamma+1}\left(M_{1}^{2}-1\right)\right]\left[\frac{2+(\gamma-1) M_{1}^{2}}{(\gamma+1) M_{1}^{2}}\right]\right\}-R \ln \left[1+\frac{2 \gamma}{\gamma+1}\left(M_{1}^{2}-1\right)\right] \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para deduzir as fórmulas que relacionam as grandezas antes (região 1) e depois (região 2) de uma onda de choque normal num gás perfeito. Vamos usar as equações de conservação de massa, quantidade de movimento e energia, além da equação de estado p=\rho R T e da definição de Mach M=u/a com a=\sqrt{\gamma R T}.

Passo 2

Aplicamos conservação de massa e de quantidade de movimento entre 1 e 2:
\rho_{1}u_{1}=\rho_{2}u_{2}
p_{1}+\rho_{1}u_{1}^{2}=p_{2}+\rho_{2}u_{2}^{2}
Dividindo a segunda por p_{1} e usando \rho_{2}u_{2}=\rho_{1}u_{1} obtemos, após escrever u_{1}^{2}=M_{1}^{2}\gamma R T_{1}=M_{1}^{2}\gamma p_{1}/\rho_{1},
\frac{p_{2}}{p_{1}} =1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}\bigl(M_{1}^{2}-1\bigr).

Passo 3

Para a razão de densidades, usamos diretamente a conservação de massa e a expressão de \tfrac{p_{2}}{p_{1}}. De
\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} =\frac{u_{1}}{u_{2}}
e
\frac{p_{2}}{p_{1}} =\frac{\rho_{2}u_{2}^{2}}{\rho_{1}u_{1}^{2}}
segue
\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} =\frac{(\gamma+1)M_{1}^{2}}{2+(\gamma-1)M_{1}^{2}}.

Passo 4

Para obter M_{2}^{2}=(u_{2}/a_{2})^{2}, escrevemos
u_{2}^{2} =\bigl(\tfrac{\rho_{1}}{\rho_{2}}\,u_{1}\bigr)^{2} \quad\text{e}\quad a_{2}^{2}=\gamma R T_{2} =\gamma\frac{p_{2}}{\rho_{2}}.
Substituindo \rho_{2}/\rho_{1} e p_{2}/p_{1} em função de M_{1} obtém-se
M_{2}^{2} =\frac{1+\tfrac{\gamma-1}{2}M_{1}^{2}} {\gamma M_{1}^{2}-\tfrac{\gamma-1}{2}}.

Passo 5

A razão de temperaturas cai diretamente de
\frac{T_{2}}{T_{1}} =\frac{p_{2}/p_{1}}{\rho_{2}/\rho_{1}} =\Bigl[1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}(M_{1}^{2}-1)\Bigr] \Bigl[\frac{2+(\gamma-1)M_{1}^{2}}{(\gamma+1)M_{1}^{2}}\Bigr].

Passo 6

Por fim, a variação de entropia por unidade de massa entre 1 e 2 em fluxo estacionário de gás perfeito é
s_{2}-s_{1} =c_{p}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}} -R\ln\frac{p_{2}}{p_{1}},
e substituindo as expressões já obtidas chega-se a
s_{2}-s_{1} =c_{p}\ln\Bigl\{\bigl[1+\tfrac{2\gamma}{\gamma+1}(M_{1}^{2}-1)\bigr] \bigl[\tfrac{2+(\gamma-1)M_{1}^{2}}{(\gamma+1)M_{1}^{2}}\bigr]\Bigr\} -R\ln\Bigl[1+\tfrac{2\gamma}{\gamma+1}(M_{1}^{2}-1)\Bigr].

Resposta

M_{2}^{2} =\frac{1+\tfrac{\gamma-1}{2}M_{1}^{2}} {\gamma M_{1}^{2}-\tfrac{\gamma-1}{2}},
\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} =\frac{u_{1}}{u_{2}} =\frac{(\gamma+1)M_{1}^{2}}{2+(\gamma-1)M_{1}^{2}},
\frac{p_{2}}{p_{1}} =1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}(M_{1}^{2}-1),
\frac{T_{2}}{T_{1}} =\left[1+\frac{2\gamma}{\gamma+1}(M_{1}^{2}-1)\right] \left[\frac{2+(\gamma-1)M_{1}^{2}}{(\gamma+1)M_{1}^{2}}\right],
s_{2}-s_{1} =c_{p}\ln\Bigl\{\bigl[1+\tfrac{2\gamma}{\gamma+1}(M_{1}^{2}-1)\bigr] \bigl[\tfrac{2+(\gamma-1)M_{1}^{2}}{(\gamma+1)M_{1}^{2}}\bigr]\Bigr\} -R\ln\Bigl[1+\tfrac{2\gamma}{\gamma+1}(M_{1}^{2}-1)\Bigr].

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