22- Um bocal convergente-divergente tem uma garganta cujo diâmetro é de 0,002 \mathrm{~m}^{2} e uma área de saída igual a 0.008 \mathrm{~m}^{2}. As condições de estagnação do ar são p_{o}=1000 \mathrm{KPa} e T_{o}=500 \mathrm{~K}. Calcule a pressāo na saída e a vazāo mássica. Determine em que condiçōes este escoamento ficará estrangulado. Considere \gamma=1,4.

Passo 1

O enunciado nos dá um bocal convergente-divergente com garganta de área A^*=0{,}002\\ \mathrm{m}^2 e saída de área A_e=0{,}008\\ \mathrm{m}^2. As condições de estagnação do ar são p_0=1000\\ \mathrm{kPa} e T_0=500\\ \mathrm{K}, com \gamma=1{,}4. Precisamos usar as relações de escoamento isentrópico para:
  1. determinar o número de Mach na saída a partir da razão de áreas;
  2. calcular a pressão estática de saída;
  3. calcular a vazão mássica;
  4. achar a condição de estrangulamento (choking).

Passo 2

Para achar o Mach de saída usamos a relação isentrópica de razão de áreas
\frac{A_e}{A^*} =\frac{1}{M_e}\Biggl[\frac{2}{\gamma+1}\Bigl(1+\frac{\gamma-1}{2}M_e^2\Bigr)\Biggr]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}.
Aqui \tfrac{A_e}{A^*}=4. Essa equação admite duas soluções (sub- e supersônica), mas como é a parte divergente do bocal, escolhemos o ramo supersônico. Resolvendo numericamente, obtém-se
M_e\approx2{,}94.

Passo 3

Com M_e determinado, a pressão de saída vem da relação isentrópica
\frac{p_e}{p_0} =\Bigl(1+\tfrac{\gamma-1}{2}M_e^2\Bigr)^{-\frac{\gamma}{\gamma-1}}.
Substituindo \gamma=1{,}4 e M_e=2{,}94,
1+\tfrac{\gamma-1}{2}M_e^2 =1+0{,}2\times(2{,}94)^2\approx2{,}728,
\frac{p_e}{p_0} =(2{,}728)^{-3{,}5}\approx0{,}0298,
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p_e=p_0\times0{,}0298 =1000\\ \mathrm{kPa}\times0{,}0298 \approx29{,}8\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Como o bocal fica estrangulado (Mach =1) na garganta, a vazão mássica é dada por
\dot m =p_0 A^*\sqrt{\frac{\gamma}{R T_0}} \Bigl(\frac{\gamma+1}{2}\Bigr)^{-\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}},
onde R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Calculando:
\sqrt{\frac{1{,}4}{287\times500}} \approx0{,}003122, \quad \Bigl(\frac{\gamma+1}{2}\Bigr)^{-\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}} =\Bigl(1{,}2\Bigr)^{-3} \approx0{,}5787,
\dot m =1000\,000\\ \mathrm{Pa}\times0{,}002\\ \mathrm{m}^2 \times0{,}003122\times0{,}5787 \approx3{,}6\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

O escoamento fica estrangulado (choked) sempre que a pressão de retorno p_b ficar abaixo da pressão crítica
p_{\rm crit} =p_0\Bigl(\tfrac{2}{\gamma+1}\Bigr)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.
Para \gamma=1{,}4, \bigl(\tfrac{2}{2{,}4}\bigr)^{3{,}5}\approx0{,}528,
ou seja, estrangla se
p_b\le0{,}528\,p_0 =0{,}528\times1000\\ \mathrm{kPa} \approx528\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

A pressão de saída é aproximadamente 29{,}8\\ \mathrm{kPa}, a vazão mássica é cerca de 3{,}6\\ \mathrm{kg/s}, e o escoamento fica estrangulado sempre que a pressão de amostragem p_b for menor ou igual a 528\\ \mathrm{kPa}.

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