19- Toma-se o seguinte perfil de velocidade de camada limite em placa plana:
\frac{u_{1}}{u_{\infty}}=2\left(\frac{x_{2}}{\delta}\right)+1
Calcule, usando a soluçāo integral via perfil genérico de velocidade, o coeficiente de atrito deste escoamento.

Passo 1

O enunciado fornece um perfil de velocidade de camada‐limite laminar sobre placa plana, dado em coordenada adimensional \eta=y/\delta por
\frac{u}{U_\infty}=2\,\eta-\eta^2.
O objetivo é usar a solução integral do balanço de momento para obter o coeficiente de atrito \displaystyle C_f=\frac{2\,\tau_w}{\rho\,U_\infty^2}.

Passo 2

Definimos as espessuras de deslocamento \delta^* e de momento \theta pelas fórmulas
\delta^*=\int_0^\delta\Bigl(1-\frac{u}{U_\infty}\Bigr)\,dy, \qquad \theta=\int_0^\delta\frac{u}{U_\infty}\Bigl(1-\frac{u}{U_\infty}\Bigr)\,dy.
Fazendo y=\eta\,\delta e integrando \eta de 0 a 1, obtemos
\delta^*=\frac{\delta}{3}, \qquad \theta=\frac{2\,\delta}{15}.

Passo 3

A equação integral de momentum para escoamento sem variação de pressão dp/dx=0 é
\frac{d\theta}{dx}=\frac{C_f}{2}.

Passo 4

Calculamos a tensão de cisalhamento na parede por
\tau_w=\mu\bigl(\partial u/\partial y\bigr)_{y=0}.
Do perfil \frac{u}{U_\infty}=2\eta-\eta^2 segue \partial u/\partial y=U_\infty\bigl(2/\delta-2\eta/\delta\bigr),
logo em \eta=0:
\tau_w=\mu\,\frac{2\,U_\infty}{\delta} \quad\Longrightarrow\quad C_f=\frac{2\,\tau_w}{\rho\,U_\infty^2} =\frac{4\,\mu}{\rho\,U_\infty\,\delta}.

Passo 5

Como \theta=\tfrac{2}{15}\,\delta temos
\frac{d\theta}{dx}=\frac{2}{15}\,\frac{d\delta}{dx}.
Substituindo na integral de momentum e em C_f achamos
\frac{2}{15}\,\frac{d\delta}{dx}=\frac{1}{2}\,\frac{4\mu}{\rho\,U_\infty\,\delta} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\delta}{dx}=\frac{15\,\mu}{\rho\,U_\infty\,\delta}.
Integrando de 0 a x com \delta(0)=0 resulta
\delta^2=30\,\frac{\mu}{\rho\,U_\infty}\,x \quad\Longrightarrow\quad \delta = x\,\sqrt{\frac{30}{Re_x}},
onde \displaystyle Re_x=\frac{\rho\,U_\infty\,x}{\mu}.

Passo 6

Finalmente, em \displaystyle C_f=\frac{4\,\mu}{\rho\,U_\infty\,\delta}
substituímos \delta e obtemos
C_f =\frac{4\,\mu}{\rho\,U_\infty\,x}\,\sqrt{\frac{Re_x}{30}} =\frac{4}{\sqrt{30}}\;Re_x^{-\tfrac12} =\frac{2\sqrt{30}}{15}\;Re_x^{-\tfrac12} \approx 0,73\,Re_x^{-\tfrac12}.

Resposta

C_f(x)=\frac{2\sqrt{30}}{15}\;Re_x^{-\tfrac12} \approx 0{,}73\,Re_x^{-\tfrac12}.

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