• 21 (a) Determine a frequência de revolução de um elétron com uma energia de 100 eV em um campo magnético uniforme de módulo 35.0 \mu \mathrm{~T}. (b) Calcule o raio da trajetória do elétron se sua velocidade é perpendicular ao campo magnético.

Passo 1

O enunciado dá um elétron de energia cinética de 100\,\mathrm{eV} imerso num campo magnético uniforme de módulo B=35,0\,\mu\mathrm{T}.
O que precisamos calcular é
  1. a frequência de revolução (frequência de ciclotron) do elétron, e
  2. o raio da sua trajetória, supondo que a velocidade seja perpendicular a B.

Passo 2

Quando uma partícula de carga q e massa m descreve movimento circular num campo magnético uniforme B, a frequência angular é
\omega = \frac{|q|\,B}{m}
e a frequência de revolução é
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{|q|\,B}{2\pi\,m}.
Note que, não relativisticamente, f independe da velocidade ou da energia da partícula.

Passo 3

Substituindo os valores do elétron ( |q|=e=1,602\times 10^{-19}\,\mathrm{C}, m=9,11\times 10^{-31}\,\mathrm{kg}) e B=35,0\times 10^{-6}\,\mathrm{T}, temos
f = \frac{(1,602\times 10^{-19})(35,0\times 10^{-6})}{2\pi\,(9,11\times 10^{-31})} \approx 9,8\times 10^{5}\,\mathrm{Hz}.

Passo 4

Para achar o raio, primeiro determinamos a velocidade do elétron a partir da energia cinética
E = 100\,\mathrm{eV} = 100\,(1,602\times 10^{-19})\,\mathrm{J} = 1,602\times 10^{-17}\,\mathrm{J},
e usamos
v = \sqrt{\frac{2E}{m}} = \sqrt{\frac{2\,(1,602\times 10^{-17})}{9,11\times 10^{-31}}} \approx 5,93\times 10^{6}\,\mathrm{m/s}.

Passo 5

Num campo magnético, para velocidade perpendicular, o raio da trajetória é
r = \frac{m\,v}{|q|\,B}.
Substituindo m, v\approx5,93\times10^{6}\,\mathrm{m/s}, |q|=1,602\times10^{-19}\,\mathrm{C} e B=35,0\times10^{-6}\,\mathrm{T},
r = \frac{(9,11\times10^{-31})(5,93\times10^{6})}{(1,602\times10^{-19})(35,0\times10^{-6})} \approx 0,96\,\mathrm{m}.

Resposta

a) f\approx9,8\times10^{5}\,\mathrm{Hz}.
b) r\approx0,96\,\mathrm{m}.

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