79 Em um certo instante, \vec{v}=(-2,00 \hat{\mathrm{i}}+4,00 \hat{\mathrm{j}}-6,00 \hat{\mathrm{k}}) \mathrm{m} / \mathrm{s} é a velocidade de um próton em um campo magnético uniforme \vec{B}=(2,00 \hat{\mathrm{i}}+4,00 \hat{\mathrm{j}}+8,00 \hat{\mathrm{k}}) \mathrm{mT}. Nesse instante, determine (a) a força magnética \vec{F} que o campo exerce sobre o próton, em termos dos vetores unitários; (b) o ângulo entre \vec{v} e \vec{F}; (c) o ângulo entre \vec{v} e \vec{B}.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade de um próton
\vec{v}=(-2,00\,\hat{\imath}+4,00\,\hat{\jmath}-6,00\,\hat{k})\,\mathrm{m/s}
num campo magnético uniforme
\vec{B}=(2,00\,\hat{\imath}+4,00\,\hat{\jmath}+8,00\,\hat{k})\,\mathrm{mT}.
Pede:
(a) a força magnética \vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B};
(b) o ângulo entre \vec{v} e \vec{F};
(c) o ângulo entre \vec{v} e \vec{B}.
Conteúdo: força de Lorentz, produto vetorial e produto escalar para ângulos.

Passo 2

Converter \vec{B} para unidades SI (tesla):
\vec{B} = (2,00\,\hat{\imath}+4,00\,\hat{\jmath}+8,00\,\hat{k})\,\mathrm{mT} = (2,00\times10^{-3}\,\hat{\imath}+4,00\times10^{-3}\,\hat{\jmath}+8,00\times10^{-3}\,\hat{k})\,\mathrm{T}.

Passo 3

Calcular o produto vetorial \vec{v}\times\vec{B}.
\vec{v}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}\\\\ -2,00 & 4,00 & -6,00 \\\\ 2,00\times10^{-3} & 4,00\times10^{-3} & 8,00\times10^{-3} \end{vmatrix} = (0,056\,\hat{\imath}+0,004\,\hat{\jmath}-0,016\,\hat{k})\,\mathrm{T\cdot m/s}.

Passo 4

Multiplicar por q=+1,602\times10^{-19}\,\mathrm{C} para obter \vec{F}:
\vec{F} = q\,(\vec{v}\times\vec{B}) = (1,602\times10^{-19})\,(0,056\,\hat{\imath}+0,004\,\hat{\jmath}-0,016\,\hat{k}) = (8,97\times10^{-21}\,\hat{\imath}+6,41\times10^{-22}\,\hat{\jmath}-2,56\times10^{-21}\,\hat{k})\,\mathrm{N}.

Passo 5

O produto vetorial \vec{v}\times\vec{B} é sempre ortogonal a \vec{v}, portanto
o vetor \vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B} também é perpendicular a \vec{v}.
Logo o ângulo entre \vec{v} e \vec{F} é de 90^\circ.

Passo 6

Para o ângulo entre \vec{v} e \vec{B} usamos
\vec{v}\cdot\vec{B} = (-2,00)(2,00)+(4,00)(4,00)+(-6,00)(8,00) = -36,00,
|\vec{v}| = \sqrt{(-2,00)^2+4,00^2+(-6,00)^2} = \sqrt{56}\approx7,48, \quad |\vec{B}| = \sqrt{2,00^2+4,00^2+8,00^2} = \sqrt{84}\approx9,17.
Então
\cos\theta = \frac{\vec{v}\cdot\vec{B}}{|\vec{v}|\,|\vec{B}|} = \frac{-36,00}{7,48\cdot9,17}\approx -0,525,
\theta = \operatorname{arccos}(-0,525)\approx122^\circ.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{F}=(8,97\times10^{-21}\,\hat{\imath}+6,41\times10^{-22}\,\hat{\jmath}-2,56\times10^{-21}\,\hat{k})\,\mathrm{N}.
(b) 90^\circ.
(c) 122^\circ.

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