21.7 Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas. se atraem mutuamente com uma força eletrostática de 0,108 \mathrm{~N} quando a distância entre os centros é 50,0 \mathrm{~cm}. As esferas são ligadas por um fio condutor de diâmetro desprezível. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força de 0,0360 \mathrm{~N}. Supondo que a carga total das esferas era inicialmente positiva, determine:
(a) a carga negativa inicial de uma das esferas;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados importantes extraídos do enunciado:
    • Força de atração inicial: F_{\text{atr}}=0,108\\ \mathrm{N}.
    • Distância entre centros: d=50,0\\ \mathrm{cm}=0,50\\ \mathrm{m}.
    • Depois de ligar as esferas por um fio (iguais) e remover o fio, elas se repelem com força F_{\text{rep}}=0,0360\\ \mathrm{N}.
    • As esferas são idênticas (mesmo tamanho) e a carga total inicial é positiva.
  • O que o problema pede (parte (a)):
    • Determinar a carga negativa inicial de uma das esferas (ou seja, o valor da carga negativa, com sinal).
  • Observações que usarei depois (aqui só enumero; a resolução vem nos próximos passos):
    • Vou usar a lei de Coulomb e o fato de que, ao ligar duas esferas condutoras idênticas, a carga total se conserva e se distribui igualmente entre as duas esferas.

Passo 2

Relembrando e explicando as fórmulas que vou usar (aula rápida e prática).
  • Lei de Coulomb (força elétrica entre duas cargas puntiformes ou esferas suficientemente separadas):
F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde:
  • F é a magnitude da força elétrica (N),
  • k é a constante eletrostática do meio (no vácuo k\approx 9{,}00\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}),
  • q_1 e q_2 são as cargas (C),
  • r é a distância entre os centros (m).
  • Condutores idênticos ligados por fio: as cargas se redistribuem de modo que cada esfera fica com a mesma carga. Como as esferas são idênticas, cada uma recebe a metade da carga total. A conservação de carga vale: carga total antes = carga total depois.
Vou nomear as cargas iniciais assim (convenção para ficar claro):
  • esfera A: q_A=+Q_p (positiva),
  • esfera B: q_B=-Q_n (negativa),
    com Q_p>Q_n>0 porque a carga total inicial é positiva e a atração mostra sinais opostos.

Passo 3

Escrever as expressões das forças antes e depois do contato, usando Coulomb.
  • Força de atração inicial (sinais opostos, magnitude):
F_{\text{atr}} = k\,\frac{Q_p\,Q_n}{d^2}.
  • Ao ligar as esferas por fio, a carga total é Q_{\text{tot}}=Q_p-Q_n. Como são idênticas, cada esfera após o contato fica com
q_{\text{final, cada}} = \frac{Q_{\text{tot}}}{2} = \frac{Q_p-Q_n}{2}.
Depois de separar, as esferas têm cargas iguais e de mesmo sinal (positivas), portanto se repelem e a força de repulsão tem magnitude
F_{\text{rep}} = k\,\frac{\bigl(\dfrac{Q_p-Q_n}{2}\bigr)^2}{d^2} = k\,\frac{(Q_p-Q_n)^2}{4d^2}.

Passo 4

Eliminar k e d^2 montando a razão entre as forças — isso simplifica muito os cálculos e evita escolher uma precisão para k.
Forme a razão \dfrac{F_{\text{rep}}}{F_{\text{atr}}}:
\frac{F_{\text{rep}}}{F_{\text{atr}}} = \frac{k\,\dfrac{(Q_p-Q_n)^2}{4d^2}}{k\,\dfrac{Q_p Q_n}{d^2}} = \frac{(Q_p-Q_n)^2}{4Q_p Q_n}.
Agora coloque os valores numéricos conhecidos:
\frac{F_{\text{rep}}}{F_{\text{atr}}}=\frac{0,0360}{0,108}=0,333333\ldots=\frac{1}{3}.
Logo:
\frac{(Q_p-Q_n)^2}{4Q_p Q_n}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Resolver a equação para a razão p=\dfrac{Q_p}{Q_n}. Isso é prático porque ambas as incógnitas entram como produto/razão.
Substitua Q_p=p\,Q_n na equação:
\frac{(pQ_n-Q_n)^2}{4(pQ_n)Q_n}=\frac{1}{3}.
Simplificando Q_n^2 que cancela:
\frac{(p-1)^2}{4p}=\frac{1}{3}.
Multiplicando ambos os lados por 12p:
3(p-1)^2=4p.
Desenvolvendo:
3(p^2-2p+1)=4p \quad\Rightarrow\quad 3p^2-6p+3=4p
\Rightarrow\quad 3p^2-10p+3=0.
Resolver a quadrática usando a fórmula ou observando fatoração. Calculando o discriminante:
\Delta = (-10)^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64,\qquad \sqrt{\Delta}=8.
As raízes são
p=\frac{10\pm8}{6} \Rightarrow p_1=\frac{18}{6}=3,\qquad p_2=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Como assumimos Q_p>Q_n (ou seja p>1), tomamos p=3. Assim
Q_p = 3\,Q_n.

Passo 6

Determinar numericamente Q_n usando a expressão da força inicial.
Usando F_{\text{atr}}=k\,\dfrac{Q_p Q_n}{d^2} e Q_p=3Q_n:
F_{\text{atr}} = k\,\frac{3Q_n^2}{d^2} \quad\Rightarrow\quad Q_n^2 = \frac{F_{\text{atr}}\,d^2}{3k}.
Agora substituo os números (vou usar k=9{,}00\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}, valor usualmente adotado em problemas):
  • F_{\text{atr}}=0,108\\ \mathrm{N},
  • d=0,50\\ \mathrm{m},
  • 3k=3\cdot9{,}00\times10^{9}=2{,}70\times10^{10}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}.
Calcule o numerador:
F_{\text{atr}}\,d^2 = 0,108\cdot(0,50)^2 = 0,108\cdot0,25 = 0,027.
Então
Q_n^2 = \frac{0,027}{2{,}70\times10^{10}} = 1{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2}.
Extraindo a raiz:
Q_n = \sqrt{1{,}00\times10^{-12}} = 1{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Como q_B=-Q_n era a carga negativa da esfera B, o valor com sinal é -1{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Resposta

-1{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}

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