21.7 Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas. se atraem mutuamente com uma força eletrostática de
quando a distância entre os centros é
. As esferas são ligadas por um fio condutor de diâmetro desprezível. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força de
. Supondo que a carga total das esferas era inicialmente positiva, determine:
(a) a carga negativa inicial de uma das esferas;
(a) a carga negativa inicial de uma das esferas;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados importantes extraídos do enunciado:
- Força de atração inicial:
. - Distância entre centros:
. - Depois de ligar as esferas por um fio (iguais) e remover o fio, elas se repelem com força
. - As esferas são idênticas (mesmo tamanho) e a carga total inicial é positiva.
- Força de atração inicial:
- O que o problema pede (parte (a)):
- Determinar a carga negativa inicial de uma das esferas (ou seja, o valor da carga negativa, com sinal).
- Observações que usarei depois (aqui só enumero; a resolução vem nos próximos passos):
- Vou usar a lei de Coulomb e o fato de que, ao ligar duas esferas condutoras idênticas, a carga total se conserva e se distribui igualmente entre as duas esferas.
Passo 2
Relembrando e explicando as fórmulas que vou usar (aula rápida e prática).
- Lei de Coulomb (força elétrica entre duas cargas puntiformes ou esferas suficientemente separadas):
onde:
-
é a magnitude da força elétrica (N), -
é a constante eletrostática do meio (no vácuo ), -
e são as cargas (C), -
é a distância entre os centros (m). -
Condutores idênticos ligados por fio: as cargas se redistribuem de modo que cada esfera fica com a mesma carga. Como as esferas são idênticas, cada uma recebe a metade da carga total. A conservação de carga vale: carga total antes = carga total depois.
Vou nomear as cargas iniciais assim (convenção para ficar claro):
- esfera A:
(positiva), - esfera B:
(negativa),
comporque a carga total inicial é positiva e a atração mostra sinais opostos.
Passo 3
Escrever as expressões das forças antes e depois do contato, usando Coulomb.
- Força de atração inicial (sinais opostos, magnitude):
- Ao ligar as esferas por fio, a carga total é
. Como são idênticas, cada esfera após o contato fica com
Depois de separar, as esferas têm cargas iguais e de mesmo sinal (positivas), portanto se repelem e a força de repulsão tem magnitude
Passo 4
Eliminar
e
montando a razão entre as forças — isso simplifica muito os cálculos e evita escolher uma precisão para
.
Forme a razão
:
Agora coloque os valores numéricos conhecidos:
Logo:
Passo 5
Resolver a equação para a razão
. Isso é prático porque ambas as incógnitas entram como produto/razão.
Substitua
na equação:
Simplificando
que cancela:
Multiplicando ambos os lados por
:
Desenvolvendo:
Resolver a quadrática usando a fórmula ou observando fatoração. Calculando o discriminante:
As raízes são
Como assumimos
(ou seja
), tomamos
. Assim
Passo 6
Determinar numericamente
usando a expressão da força inicial.
Usando
e
:
Agora substituo os números (vou usar
, valor usualmente adotado em problemas):
-
, -
, -
.
Calcule o numerador:
Então
Extraindo a raiz:
Como
era a carga negativa da esfera B, o valor com sinal é
.