Ache a diferencial total
das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: "Ache a diferencial total
" para cada uma das três funções dadas. As funções fornecidas são:
-
. -
. -
.
Portanto, para cada função devemos calcular as derivadas parciais em relação às variáveis independentes e montar a diferencial total
.
Passo 2
Antes de calcular: o que é a diferencial total? Vou explicar devagar, como se estivéssemos na prova juntos.
- Se
depende de duas variáveis e , isto é , a diferencial total é a aproximação linear da variação de quando e mudam um pouquinho. A fórmula é
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante), e
é a pequena variação em
. Mesma ideia para
e
.
- Se
depende de três variáveis , a fórmula fica
Regra prática: para obter
calcule cada derivada parcial e multiplique por
correspondentes.
Passo 3
Primeira função:
.
Calcule as derivadas parciais (passo a passo):
- Derivada parcial em relação a
: ao derivar em relação a tratamos como constante, então a derivada é . Ao derivar em relação a tratamos como constante, então a derivada é (regra: ). Logo
- Derivada parcial em relação a
: ao derivar em relação a tratamos como constante, e , então a primeira parte dá . Ao derivar em relação a tratamos como constante, então a derivada é . Portanto
Agora montar a diferencial total para função de duas variáveis:
Passo 4
Segunda função:
.
Calcule as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
: é constante em relação a , então
- Derivada parcial em relação a
: usar a regra da cadeia. Para temos como constante multiplicando ; , então a contribuição é . Para temos . Somando:
Montando a diferencial total:
Passo 5
Terceira função:
.
Aqui é função de três variáveis. Use a regra da cadeia para função logarítmica: se
então
.
Defina
. Então
,
,
. Aplicando a regra da cadeia:
Montando a diferencial total para as três variáveis:
Uma forma compacta, equivalente, é