Ache a diferencial total d w das funções abaixo:
w=x \cos (y)-y \operatorname{sen}(x)
w=x e^{2 y}+e^{-y}
w=\ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: "Ache a diferencial total d w" para cada uma das três funções dadas. As funções fornecidas são:
  • w = x\cos(y) - y\sin(x).
  • w = x e^{2y} + e^{-y}.
  • w = \ln\!\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
Portanto, para cada função devemos calcular as derivadas parciais em relação às variáveis independentes e montar a diferencial total d w.

Passo 2

Antes de calcular: o que é a diferencial total? Vou explicar devagar, como se estivéssemos na prova juntos.
  • Se w depende de duas variáveis x e y, isto é w=w(x,y), a diferencial total d w é a aproximação linear da variação de w quando x e y mudam um pouquinho. A fórmula é
d w = \frac{\partial w}{\partial x}\,dx + \frac{\partial w}{\partial y}\,dy.
Aqui \dfrac{\partial w}{\partial x} é a derivada parcial de w em relação a x (tratando y como constante), e dx é a pequena variação em x. Mesma ideia para \dfrac{\partial w}{\partial y} e dy.
  • Se w depende de três variáveis x,y,z, a fórmula fica
d w = \frac{\partial w}{\partial x}\,dx + \frac{\partial w}{\partial y}\,dy + \frac{\partial w}{\partial z}\,dz.
Regra prática: para obter d w calcule cada derivada parcial e multiplique por dx,dy,dz correspondentes.

Passo 3

Primeira função: w = x\cos(y) - y\sin(x).
Calcule as derivadas parciais (passo a passo):
  • Derivada parcial em relação a x: ao derivar x\cos(y) em relação a x tratamos \cos(y) como constante, então a derivada é \cos(y). Ao derivar -y\sin(x) em relação a x tratamos y como constante, então a derivada é -y\cos(x) (regra: \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)). Logo
\frac{\partial w}{\partial x} = \cos(y) - y\cos(x).
  • Derivada parcial em relação a y: ao derivar x\cos(y) em relação a y tratamos x como constante, e \dfrac{d}{dy}\cos(y)=-\sin(y), então a primeira parte dá -x\sin(y). Ao derivar -y\sin(x) em relação a y tratamos \sin(x) como constante, então a derivada é -\sin(x). Portanto
\frac{\partial w}{\partial y} = -x\sin(y) - \sin(x).
Agora montar a diferencial total para função de duas variáveis:
d w = \bigl(\cos(y) - y\cos(x)\bigr)\,dx + \bigl(-x\sin(y) - \sin(x)\bigr)\,dy.

Passo 4

Segunda função: w = x e^{2y} + e^{-y}.
Calcule as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a x: e^{2y} é constante em relação a x, então
\frac{\partial w}{\partial x} = e^{2y}.
  • Derivada parcial em relação a y: usar a regra da cadeia. Para x e^{2y} temos x como constante multiplicando e^{2y}; \dfrac{d}{dy}e^{2y}=2e^{2y}, então a contribuição é x\cdot 2e^{2y}=2x e^{2y}. Para e^{-y} temos \dfrac{d}{dy}e^{-y}=-e^{-y}. Somando:
\frac{\partial w}{\partial y} = 2x e^{2y} - e^{-y}.
Montando a diferencial total:
d w = e^{2y}\,dx + \bigl(2x e^{2y} - e^{-y}\bigr)\,dy.

Passo 5

Terceira função: w = \ln\!\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
Aqui é função de três variáveis. Use a regra da cadeia para função logarítmica: se w=\ln(u) então \dfrac{\partial w}{\partial x}=\dfrac{1}{u}\dfrac{\partial u}{\partial x}.
Defina u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Então \dfrac{\partial u}{\partial x}=2x, \dfrac{\partial u}{\partial y}=2y, \dfrac{\partial u}{\partial z}=2z. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{2x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \frac{\partial w}{\partial z} = \frac{2z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Montando a diferencial total para as três variáveis:
d w = \frac{2x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dx + \frac{2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dy + \frac{2z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dz.
Uma forma compacta, equivalente, é
d w = \frac{2\bigl(x\,dx + y\,dy + z\,dz\bigr)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Resposta

d w=\bigl(\cos(y)-y\cos(x)\bigr)\,dx+\bigl(-x\sin(y)-\sin(x)\bigr)\,dy
d w=e^{2y}\,dx+\bigl(2x e^{2y}-e^{-y}\bigr)\,dy
d w=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dx+\dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dy+\dfrac{2z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dz

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