Uma caixa de madeira é feita de tábuas que têm 2 / 3 \mathrm{~cm} de espessura. O comprimento interno é de 0,6 m , a largura interna é de 0,3 \mathrm{~m}, a profundidade interna é de 0,4 \mathrm{~m} e a caixa não tem tampa. Use a diferencial total para encontrar a quantidade aproximada de madeira a ser usada na caixa.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei todos os números do enunciado):
  • Espessura das tábuas: \dfrac{2}{3}\\ \text{cm}.
  • Comprimento interno: L=0,6\\ \text{m}.
  • Largura interna: W=0,3\\ \text{m}.
  • Profundidade interna (altura interna): H=0,4\\ \text{m}.
  • A caixa não tem tampa.
  • Pedido: usar a diferencial total para encontrar a quantidade aproximada de madeira usada na caixa (ou seja, o volume aproximado da madeira).

Passo 2

Ideia da diferencial (explicando passo a passo, sem pular etapas): considere o volume interno da cavidade como
V_{\text{in}}=LWH,
onde L, W e H são as dimensões internas. Se as dimensões externas aumentam por pequenas quantidades \mathrm{d}L,\mathrm{d}W,\mathrm{d}H, a alteração aproximada do volume (a diferencial total) é dada por
\mathrm{d}V \approx \frac{\partial (LWH)}{\partial L}\mathrm{d}L+\frac{\partial (LWH)}{\partial W}\mathrm{d}W+\frac{\partial (LWH)}{\partial H}\mathrm{d}H.
Agora calcule as derivadas parciais: \frac{\partial (LWH)}{\partial L}=WH, \frac{\partial (LWH)}{\partial W}=LH, \frac{\partial (LWH)}{\partial H}=LW. Portanto
\mathrm{d}V \approx WH\,\mathrm{d}L + LH\,\mathrm{d}W + LW\,\mathrm{d}H.
Isso tem sentido físico: ao aumentar o comprimento em \mathrm{d}L o aumento de volume é a área da seção W\!H vezes \mathrm{d}L, e assim por diante. Essa é a aproximação linear que despreza termos quadráticos (como \mathrm{d}L\mathrm{d}W), que são muito pequenos quando as espessuras são pequenas.

Passo 3

Relacionar com o problema: a espessura das tábuas é
t=\frac{2}{3}\\ \text{cm}=\frac{2}{3}\cdot 10^{-2}\\ \text{m}=\frac{1}{150}\\ \text{m}.
Como a caixa tem paredes laterais de espessura t em ambos os lados, o acréscimo no comprimento externo é \mathrm{d}L=2t e no largura externo \mathrm{d}W=2t. Como não há tampa, só há a tábua do fundo de espessura t, então o acréscimo em altura externa é \mathrm{d}H=t.
Resumo das variações (usar as notações já definidas):
\mathrm{d}L=2t,\qquad \mathrm{d}W=2t,\qquad \mathrm{d}H=t.

Passo 4

Aplicar a fórmula diferencial com as dimensões internas fornecidas. Primeiro calcule as áreas parciais:
WH = 0,3\cdot 0,4 = 0,12 = \frac{3}{25},
LH = 0,6\cdot 0,4 = 0,24 = \frac{6}{25},
LW = 0,6\cdot 0,3 = 0,18 = \frac{9}{50}.
E as variações em termos de frações:
2t = 2\cdot\frac{1}{150}=\frac{1}{75},\qquad t=\frac{1}{150}.
Agora substitua em \mathrm{d}V \approx WH\,\mathrm{d}L + LH\,\mathrm{d}W + LW\,\mathrm{d}H:
\mathrm{d}V \approx \left(\frac{3}{25}\right)\!\left(\frac{1}{75}\right) + \left(\frac{6}{25}\right)\!\left(\frac{1}{75}\right) + \left(\frac{9}{50}\right)\!\left(\frac{1}{150}\right).

Passo 5

Efetue as multiplicações e some de forma clara:
\left(\frac{3}{25}\right)\!\left(\frac{1}{75}\right)=\frac{3}{1875}=\frac{1}{625},
\left(\frac{6}{25}\right)\!\left(\frac{1}{75}\right)=\frac{6}{1875}=\frac{2}{625},
\left(\frac{9}{50}\right)\!\left(\frac{1}{150}\right)=\frac{9}{7500}=\frac{3}{2500}.
Colocando tudo com o mesmo denominador 2500:
\frac{1}{625}=\frac{4}{2500},\qquad \frac{2}{625}=\frac{8}{2500},\qquad \frac{3}{2500}=\frac{3}{2500}.
Somando:
\mathrm{d}V \approx \frac{4+8+3}{2500}=\frac{15}{2500}=\frac{3}{500}.
Como número decimal:
\mathrm{d}V \approx \frac{3}{500}=0,006\\ \text{m}^3.

Passo 6

Interpretação final e conversões (para ficar mais tangível): o volume aproximado de madeira usado é \mathrm{d}V\approx 0,006\\ \text{m}^3. Em unidades usuais:
0,006\\ \text{m}^3 = 6\\ \text{L} = 6000\\ \text{cm}^3.
Observação amigável: essa é uma aproximação linear (usando diferenciais) que ignora termos de ordem t^2 (cantos e arestas onde duas espessuras se encontram), mas para t pequeno essa aproximação é muito boa.

Resposta

0,006\\ \text{m}^3 = 6\\ \text{L} = 6000\\ \text{cm}^3

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