Uma caixa de madeira é feita de tábuas que têm
de espessura. O comprimento interno é de 0,6 m , a largura interna é de
, a profundidade interna é de
e a caixa não tem tampa. Use a diferencial total para encontrar a quantidade aproximada de madeira a ser usada na caixa.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei todos os números do enunciado):
- Espessura das tábuas:
. - Comprimento interno:
. - Largura interna:
. - Profundidade interna (altura interna):
. - A caixa não tem tampa.
- Pedido: usar a diferencial total para encontrar a quantidade aproximada de madeira usada na caixa (ou seja, o volume aproximado da madeira).
Passo 2
Ideia da diferencial (explicando passo a passo, sem pular etapas): considere o volume interno da cavidade como
onde
,
e
são as dimensões internas. Se as dimensões externas aumentam por pequenas quantidades
, a alteração aproximada do volume (a diferencial total) é dada por
Agora calcule as derivadas parciais:
,
,
. Portanto
Isso tem sentido físico: ao aumentar o comprimento em
o aumento de volume é a área da seção
vezes
, e assim por diante. Essa é a aproximação linear que despreza termos quadráticos (como
), que são muito pequenos quando as espessuras são pequenas.
Passo 3
Relacionar com o problema: a espessura das tábuas é
Como a caixa tem paredes laterais de espessura
em ambos os lados, o acréscimo no comprimento externo é
e no largura externo
. Como não há tampa, só há a tábua do fundo de espessura
, então o acréscimo em altura externa é
.
Resumo das variações (usar as notações já definidas):
Passo 4
Aplicar a fórmula diferencial com as dimensões internas fornecidas. Primeiro calcule as áreas parciais:
E as variações em termos de frações:
Agora substitua em
:
Passo 5
Efetue as multiplicações e some de forma clara:
Colocando tudo com o mesmo denominador
:
Somando:
Como número decimal:
Passo 6
Interpretação final e conversões (para ficar mais tangível): o volume aproximado de madeira usado é
. Em unidades usuais:
Observação amigável: essa é uma aproximação linear (usando diferenciais) que ignora termos de ordem
(cantos e arestas onde duas espessuras se encontram), mas para
pequeno essa aproximação é muito boa.