7.21 Um fio infinitamente longo é percorrido por uma corrente de 2 A ao longo de
. Calcule:
(a) B em (-3,4,7);
(b) o fluxo através da espira quadrada descrita por
.
(a) B em (-3,4,7);
(b) o fluxo através da espira quadrada descrita por
Passo 1
O enunciado diz que há um fio infinitamente longo, percorrido por uma corrente de
no sentido
. Pede-se duas coisas:
(a) O campo magnético
no ponto
.
(b) O fluxo magnético através de uma espira quadrada localizada em
(ou seja,
), com
e
. Essa espira é uma superfície em que
varia de
a
e
varia de
a
, com
fixo em
.
Informações dadas:
Pontos e intervalos:
O que devemos entregar:
- (a)
(vetor) no ponto dado; - (b) o fluxo magnético
através da espira descrita.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado do zero): para um fio retilíneo infinito com corrente
ao longo do eixo
, o campo magnético em coordenadas cilíndricas depende só da distância radial
ao eixo e circunda o fio no sentido
. A expressão dada pela Lei de Ampère (resultado padrão) é
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo, (SI); -
é a corrente (no nosso caso ); -
é a distância ao eixo ; -
é o versor angular (direção tangencial às circunferências centradas no eixo ).
Como representar
em componentes cartesianas? Usando
e
, temos
Outra forma útil, diretamente em
, é
Essa fórmula nos permite escrever
em componentes
.
Passo 3
Aplicando isso ao ponto
:
Calcule
:
Calcule
e
(usar relações com
):
Logo o versor angular é
Passo 4
Calcule a magnitude de
no raio
:
Substituindo
,
Agora a componente vetorial:
Multiplicando:
Também podemos expressar simbolicamente:
Passo 5
Agora parte (b): queremos o fluxo magnético através da superfície em
com
e
.
Primeiro, qual é o vetor área elementar
dessa superfície? A superfície é definida por coordenadas
com
constante. O elemento de área tem magnitude
e direção normal dada por
(ou o contrário, dependendo da orientação). Usando as relações cíclicas dos versores cilíndricos:
Portanto
O campo magnético localmente é
. O produto escalar que entra no fluxo é
Passo 6
Integramos sobre a região
,
:
Fazendo a integral em
primeiro (é só um fator
):
Como
, obtemos a expressão fechada
Passo 7
Calcule o valor numérico do fluxo usando
e
:
Logo
O sinal negativo decorre da escolha da orientação do vetor área (como calculado,
), isto é, o campo
aponta no sentido
enquanto a normal usada é
; se você escolher a orientação oposta da superfície, o fluxo muda de sinal.
Resposta
(a)
(b)