7.21 Um fio infinitamente longo é percorrido por uma corrente de 2 A ao longo de +z. Calcule:
(a) B em (-3,4,7);
(b) o fluxo através da espira quadrada descrita por 2 \leq \rho \leq 6,0 \leq z \leq 4 \mathrm{c} \varphi=90^{\circ}.

Passo 1

O enunciado diz que há um fio infinitamente longo, percorrido por uma corrente de 2\\ \mathrm{A} no sentido +z. Pede-se duas coisas:
(a) O campo magnético \mathbf{B} no ponto (-3,4,7).
(b) O fluxo magnético através de uma espira quadrada localizada em \varphi=90^\circ (ou seja, \varphi=\pi/2), com 2\le \rho\le 6 e 0\le z\le 4. Essa espira é uma superfície em que \rho varia de 2 a 6 e z varia de 0 a 4, com \varphi fixo em 90^\circ.
Informações dadas:
I=2\\ \mathrm{A}.
Pontos e intervalos:
\text{ponto }(-3,4,7),\qquad 2\le \rho\le 6,\\\ 0\le z\le 4,\\ \varphi=90^\circ.
O que devemos entregar:
  • (a) \mathbf{B} (vetor) no ponto dado;
  • (b) o fluxo magnético \Phi através da espira descrita.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado do zero): para um fio retilíneo infinito com corrente I ao longo do eixo z, o campo magnético em coordenadas cilíndricas depende só da distância radial \rho ao eixo e circunda o fio no sentido \hat{\boldsymbol{\varphi}}. A expressão dada pela Lei de Ampère (resultado padrão) é
\mathbf{B}(\rho)=\frac{\mu_0 I}{2\pi\rho}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}},
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{N/A^2} (SI);
  • I é a corrente (no nosso caso 2\\ \mathrm{A});
  • \rho=\sqrt{x^2+y^2} é a distância ao eixo z;
  • \hat{\boldsymbol{\varphi}} é o versor angular (direção tangencial às circunferências centradas no eixo z).
Como representar \hat{\boldsymbol{\varphi}} em componentes cartesianas? Usando \cos\varphi=x/\rho e \sin\varphi=y/\rho, temos
\hat{\boldsymbol{\rho}}=(\cos\varphi,\sin\varphi,0),\qquad \hat{\boldsymbol{\varphi}}=(-\sin\varphi,\cos\varphi,0).
Outra forma útil, diretamente em x,y, é
\hat{\boldsymbol{\varphi}}=\left(-\frac{y}{\rho},\frac{x}{\rho},0\right).
Essa fórmula nos permite escrever \mathbf{B} em componentes x,y,z.

Passo 3

Aplicando isso ao ponto (-3,4,7):
Calcule \rho:
\rho=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Calcule \sin\varphi e \cos\varphi (usar relações com x,y):
\cos\varphi=\frac{x}{\rho}=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5},\qquad \sin\varphi=\frac{y}{\rho}=\frac{4}{5}.
Logo o versor angular é
\hat{\boldsymbol{\varphi}}=\left(-\sin\varphi,\cos\varphi,0\right)=\left(-\frac{4}{5},-\frac{3}{5},0\right).

Passo 4

Calcule a magnitude de \mathbf{B} no raio \rho=5:
|\mathbf{B}|=\frac{\mu_0 I}{2\pi \rho}=\frac{\mu_0\cdot 2}{2\pi\cdot 5}=\frac{\mu_0}{5\pi}.
Substituindo \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^2},
|\mathbf{B}|=\frac{4\pi\times10^{-7}}{5\pi}= \frac{4\times10^{-7}}{5}=8\times10^{-8}\\ \mathrm{T}.
Agora a componente vetorial:
\mathbf{B}=|\mathbf{B}|\hat{\boldsymbol{\varphi}} =8\times10^{-8}\left(-\frac{4}{5},-\frac{3}{5},0\right)\\ \mathrm{T}.
Multiplicando:
B_x=-6,4\times10^{-8}\\ \mathrm{T},\qquad B_y=-4,8\times10^{-8}\\ \mathrm{T},\qquad B_z=0.
Também podemos expressar simbolicamente:
\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{5\pi}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.

Passo 5

Agora parte (b): queremos o fluxo magnético através da superfície em \varphi=\pi/2 com 2\le\rho\le6 e 0\le z\le4.
Primeiro, qual é o vetor área elementar d\mathbf{A} dessa superfície? A superfície é definida por coordenadas (\rho,z) com \varphi constante. O elemento de área tem magnitude dA=d\rho\,dz e direção normal dada por \hat{\boldsymbol{n}}=\hat{\boldsymbol{\rho}}\times\hat{\mathbf{z}} (ou o contrário, dependendo da orientação). Usando as relações cíclicas dos versores cilíndricos:
\hat{\boldsymbol{\rho}}\times\hat{\mathbf{z}}=-\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Portanto
d\mathbf{A}=(\hat{\boldsymbol{\rho}}\times\hat{\mathbf{z}})\,d\rho\,dz=-\hat{\boldsymbol{\varphi}}\,d\rho\,dz.
O campo magnético localmente é \mathbf{B}(\rho)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi\rho}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}. O produto escalar que entra no fluxo é
\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=\frac{\mu_0 I}{2\pi\rho}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\cdot\big(-\hat{\boldsymbol{\varphi}}\,d\rho\,dz\big) =-\frac{\mu_0 I}{2\pi\rho}\,d\rho\,dz.

Passo 6

Integramos sobre a região \rho\in[2,6], z\in[0,4]:
\Phi=\iint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} =-\int_{\rho=2}^{6}\int_{z=0}^{4}\frac{\mu_0 I}{2\pi\rho}\,dz\,d\rho.
Fazendo a integral em z primeiro (é só um fator 4):
\Phi=-\frac{\mu_0 I}{2\pi}\cdot 4\int_{2}^{6}\frac{1}{\rho}\,d\rho =-\frac{2\mu_0 I}{\pi}\left[\ln\rho\right]_{2}^{6} =-\frac{2\mu_0 I}{\pi}\ln\!\left(\frac{6}{2}\right).
Como \frac{6}{2}=3, obtemos a expressão fechada
\Phi=-\frac{2\mu_0 I}{\pi}\ln 3.

Passo 7

Calcule o valor numérico do fluxo usando \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^2} e I=2\\ \mathrm{A}:
\frac{2\mu_0 I}{\pi}=\frac{2\cdot(4\pi\times10^{-7})\cdot 2}{\pi}=16\times10^{-7}=1,6\times10^{-6}.
Logo
\Phi=-1,6\times10^{-6}\cdot\ln 3\\ \mathrm{Wb}\approx -1,76\times10^{-6}\\ \mathrm{Wb}.
O sinal negativo decorre da escolha da orientação do vetor área (como calculado, d\mathbf{A}=-\hat{\boldsymbol{\varphi}}\,d\rho\,dz), isto é, o campo \mathbf{B} aponta no sentido +\hat{\boldsymbol{\varphi}} enquanto a normal usada é -\hat{\boldsymbol{\varphi}}; se você escolher a orientação oposta da superfície, o fluxo muda de sinal.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{B}(-3,4,7)=\frac{\mu_0}{5\pi}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} =8\times10^{-8}\!\left(-\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5},0\right)\\ \mathrm{T} =\bigl(-6,4\times10^{-8},\,-4,8\times10^{-8},\,0\bigr)\\ \mathrm{T}.
(b) \displaystyle \Phi=-\frac{2\mu_0 I}{\pi}\ln 3\approx -1,76\times10^{-6}\\ \mathrm{Wb}.

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