7.39 Se \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime} e R=|\mathbf{R}|, demonstre que
\nabla \frac{1}{\mathbf{R}}=-\nabla^{\prime} \frac{1}{\mathbf{R}}=-\frac{\mathbf{R}}{R^{3}}
onde \nabla \mathrm{e} \nabla^{\prime} são os operadores del em relação a (x, y, z) \mathrm{e}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right), respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração:
\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime},\qquad R=|\mathbf{R}|
onde \mathbf{r}=(x,y,z) e \mathbf{r}^{\prime}=(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}).
A pergunta é demonstrar a igualdade
\nabla \frac{1}{\mathbf{R}}=-\nabla^{\prime} \frac{1}{\mathbf{R}}=-\frac{\mathbf{R}}{R^{3}},
sendo \nabla o operador del em relação às coordenadas (x,y,z) e \nabla^{\prime} o operador del em relação a (x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}).
Itens relevantes fornecidos:
  • \mathbf{R}=(x-x^{\prime},\,y-y^{\prime},\,z-z^{\prime}).
  • R=\sqrt{(x-x^{\prime})^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z^{\prime})^{2}}.
  • Devemos calcular derivadas parciais de 1/R tanto em relação às variáveis não primadas quanto às primadas e juntar no vetor gradiente.

Passo 2

Vamos lembrar o que é o operador gradiente (del) em coordenadas cartesianas e como aplicamos a regra da cadeia.
O operador gradiente em relação a (x,y,z) é
\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\;\frac{\partial}{\partial y},\;\frac{\partial}{\partial z}\right).
O operador gradiente em relação a (x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}) é
\nabla'=\left(\frac{\partial}{\partial x^{\prime}},\;\frac{\partial}{\partial y^{\prime}},\;\frac{\partial}{\partial z^{\prime}}\right).
A regra da cadeia (na forma que usaremos) diz que, para uma função escalar f(R) onde R depende de x, então
\frac{\partial}{\partial x}f(R)=f'(R)\frac{\partial R}{\partial x}.
Aqui vamos aplicar isso com f(R)=1/R, cuja derivada é f'(R)=-1/R^{2}.

Passo 3

Escrevemos explicitamente R e calculamos \partial R/\partial x, \partial R/\partial y, \partial R/\partial z.
Começamos por
R=\sqrt{(x-x^{\prime})^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z^{\prime})^{2}}.
Diferenciando em relação a x (mantendo x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime} fixos) usando a regra da cadeia,
\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2(x-x^{\prime})}{\sqrt{(x-x^{\prime})^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z^{\prime})^{2}}} =\frac{x-x^{\prime}}{R}.
Análogamente,
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{y-y^{\prime}}{R},\qquad \frac{\partial R}{\partial z}=\frac{z-z^{\prime}}{R}.
Em forma vetorial, isso equivale a
\nabla R=\frac{\mathbf{R}}{R},
onde lembramos que \mathbf{R}=(x-x^{\prime},y-y^{\prime},z-z^{\prime}).

Passo 4

Agora derivamos 1/R em relação a x,y,z. Usando \frac{d}{dR}\left(\frac{1}{R}\right)=-\frac{1}{R^{2}} e a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{R}\right)=-\frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{\partial R}{\partial x} =-\frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{x-x^{\prime}}{R} =-\frac{x-x^{\prime}}{R^{3}}.
Analogamente para as outras componentes,
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{R}\right)=-\frac{y-y^{\prime}}{R^{3}},\qquad \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{1}{R}\right)=-\frac{z-z^{\prime}}{R^{3}}.
Juntando as componentes no vetor gradiente,
\nabla\left(\frac{1}{R}\right)=\left(-\frac{x-x^{\prime}}{R^{3}},\;-\frac{y-y^{\prime}}{R^{3}},\;-\frac{z-z^{\prime}}{R^{3}}\right) =-\frac{\mathbf{R}}{R^{3}}.

Passo 5

Agora fazemos a mesma coisa, mas derivando em relação às coordenadas primadas x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}. Primeiro calculamos \partial R/\partial x^{\prime}. Diferenciando
R=\sqrt{(x-x^{\prime})^{2}+\cdots}
em relação a x^{\prime} (agora x é tratado como constante), obtemos
\frac{\partial R}{\partial x^{\prime}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2(x^{\prime}-x)}{R}=\frac{x^{\prime}-x}{R}=-\frac{x-x^{\prime}}{R}.
Analogamente,
\frac{\partial R}{\partial y^{\prime}}=-\frac{y-y^{\prime}}{R},\qquad \frac{\partial R}{\partial z^{\prime}}=-\frac{z-z^{\prime}}{R}.

Passo 6

Aplicamos a regra da cadeia para 1/R em relação às derivadas primadas:
\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\left(\frac{1}{R}\right)=-\frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{\partial R}{\partial x^{\prime}} =-\frac{1}{R^{2}}\cdot\left(-\frac{x-x^{\prime}}{R}\right) =\frac{x-x^{\prime}}{R^{3}}.
As outras componentes ficam
\frac{\partial}{\partial y^{\prime}}\left(\frac{1}{R}\right)=\frac{y-y^{\prime}}{R^{3}},\qquad \frac{\partial}{\partial z^{\prime}}\left(\frac{1}{R}\right)=\frac{z-z^{\prime}}{R^{3}}.
Portanto, o gradiente em relação às variáveis primadas é
\nabla'\left(\frac{1}{R}\right)=\frac{\mathbf{R}}{R^{3}}.

Passo 7

Colocando juntos os resultados dos passos anteriores obtemos as igualdades desejadas:
\nabla\left(\frac{1}{R}\right)=-\frac{\mathbf{R}}{R^{3}},\qquad \nabla'\left(\frac{1}{R}\right)=\frac{\mathbf{R}}{R^{3}},
o que implica
\nabla\left(\frac{1}{R}\right)=-\nabla'\left(\frac{1}{R}\right)=-\frac{\mathbf{R}}{R^{3}}.
Intuitivamente: derivar em relação ao ponto de campo \mathbf{r} e derivar em relação ao ponto fonte \mathbf{r}' dá sinais opostos porque mover \mathbf{r} numa direção tem efeito contrário a mover \mathbf{r}' na mesma direção sobre o vetor diferença \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'.

Resposta

\nabla \frac{1}{\mathbf{R}}=-\nabla^{\prime} \frac{1}{\mathbf{R}}=-\frac{\mathbf{R}}{R^{3}}

Exercícios relacionados