7.39 Se
e
, demonstre que
onde
são os operadores del em relação a
, respectivamente.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração:
onde
e
.
A pergunta é demonstrar a igualdade
A pergunta é demonstrar a igualdade
sendo
o operador del em relação às coordenadas
e
o operador del em relação a
.
Itens relevantes fornecidos:
Itens relevantes fornecidos:
-
. -
. - Devemos calcular derivadas parciais de
tanto em relação às variáveis não primadas quanto às primadas e juntar no vetor gradiente.
Passo 2
Vamos lembrar o que é o operador gradiente (del) em coordenadas cartesianas e como aplicamos a regra da cadeia.
O operador gradiente em relação a é
O operador gradiente em relação a
O operador gradiente em relação a
é
A regra da cadeia (na forma que usaremos) diz que, para uma função escalar
onde
depende de
, então
Aqui vamos aplicar isso com
, cuja derivada é
.
Passo 3
Escrevemos explicitamente
e calculamos
,
,
.
Começamos por
Começamos por
Diferenciando em relação a
(mantendo
fixos) usando a regra da cadeia,
Análogamente,
Em forma vetorial, isso equivale a
onde lembramos que
.
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
. Usando
e a regra da cadeia:
Analogamente para as outras componentes,
Juntando as componentes no vetor gradiente,
Passo 5
Agora fazemos a mesma coisa, mas derivando em relação às coordenadas primadas
. Primeiro calculamos
. Diferenciando
em relação a
(agora
é tratado como constante), obtemos
Analogamente,
Passo 6
Aplicamos a regra da cadeia para
em relação às derivadas primadas:
As outras componentes ficam
Portanto, o gradiente em relação às variáveis primadas é
Passo 7
Colocando juntos os resultados dos passos anteriores obtemos as igualdades desejadas:
o que implica
Intuitivamente: derivar em relação ao ponto de campo
e derivar em relação ao ponto fonte
dá sinais opostos porque mover
numa direção tem efeito contrário a mover
na mesma direção sobre o vetor diferença
.