a) Mostre que a variação da densidade com a temperatura pode ser dada por:
\frac{d \rho}{d T}=-\beta \rho
b) Mostre que, para pequenas variações de temperatura, esta relação pode ser aproximada por:
\Delta \rho=-\beta \rho_{\mathrm{o}} \Delta \mathrm{~T}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que a variação da densidade com a temperatura satisfaz \dfrac{d\rho}{dT}=-\beta \rho.
  • (b) Mostrar que, para pequenas variações de temperatura, essa relação pode ser aproximada por \Delta \rho=-\beta \rho_{\mathrm{o}} \Delta T.
Informações e condições relevantes que temos (tudo que vamos usar depois):
  • A densidade é definida como a massa dividida pelo volume: \rho=\dfrac{m}{V}.
  • A massa m do corpo é constante quando aquecemos (não há perda ou ganho de massa).
  • O coeficiente volumétrico de dilatação térmica \beta é definido por \displaystyle \beta=\frac{1}{V}\frac{dV}{dT}.
    (Significado: \beta mede a fração relativa de variação do volume por unidade de temperatura.)
  • Queremos manipular essas relações para obter (a) uma expressão diferencial e (b) a aproximação para pequenas variações \Delta T.

Passo 2

Relembrando e entendendo as fórmulas básicas (passo-a-passo, bem mastigado):
  • Densidade: \rho=\dfrac{m}{V}. Aqui m é a massa (constante) e V é o volume, função da temperatura T, ou seja V=V(T).
  • Como V depende de T, a densidade também depende de T: \rho=\rho(T).
  • O coeficiente \beta é uma definição que diz quanto o volume varia relativamente com T: \beta=\frac{1}{V}\frac{dV}{dT}.Isso significa que \frac{dV}{dT}=\beta V. Vou usar isso adiante.

Passo 3

Derivando \rho em relação a T (aplicando regra da cadeia / regra do quociente):
  • Escrevemos \rho(T)=m\,V(T)^{-1}.
  • Diferenciando em relação a T: \frac{d\rho}{dT}=m\frac{d}{dT}\big(V^{-1}\big).
  • Usando a regra \dfrac{d}{dT}(V^{-1})=-V^{-2}\dfrac{dV}{dT}, obtemos \frac{d\rho}{dT}=m\Big(-V^{-2}\frac{dV}{dT}\Big)=-\frac{m}{V^{2}}\frac{dV}{dT}.

Passo 4

Expressando o resultado anterior em termos de \rho e \beta:
  • Note que \dfrac{m}{V^{2}}=\dfrac{m}{V}\cdot\dfrac{1}{V}=\rho\cdot\dfrac{1}{V}.
  • Usando a definição de \beta, temos \dfrac{1}{V}\dfrac{dV}{dT}=\beta.
  • Substituindo essas identidades na expressão da derivada: \frac{d\rho}{dT}=-\rho\cdot\underbrace{\frac{1}{V}\frac{dV}{dT}}_{=\beta}=-\beta\rho.
  • Pronto: acabamos de demonstrar a relação pedida em (a).

Passo 5

Explicando e obtendo a aproximação para pequenas variações (parte b):
  • Para uma pequena mudança de temperatura \Delta T ao redor de uma temperatura de referência T_{0}, podemos usar a aproximação linear (expansão de Taylor de ordem 1): \rho(T_{0}+\Delta T)\approx \rho(T_{0})+\left.\frac{d\rho}{dT}\right|_{T_{0}}\Delta T.
  • Definindo \rho_{0}=\rho(T_{0}) e substituindo \dfrac{d\rho}{dT}=-\beta\rho avaliado em T_{0} (ou seja -\beta\rho_{0}), obtemos \rho_{0}+\Delta \rho \approx \rho_{0}+(-\beta\rho_{0})\Delta T.
  • Subtraindo \rho_{0} dos dois lados: \Delta \rho \approx -\beta \rho_{0} \Delta T.
  • Essa é a aproximação linear válida quando \Delta T é pequeno, porque desprezamos termos de ordem (\Delta T)^{2} e superiores.

Passo 6

Intuição e exemplo rápido para fixar:
  • Física: se o volume aumenta com a temperatura ( \beta>0), a densidade diminui — daí o sinal negativo.
  • Exemplo numérico simples: se \rho_{0}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \beta=3\cdot10^{-4}\\ \mathrm{K^{-1}} e \Delta T=10\\ \mathrm{K}, então \Delta \rho\approx -\big(3\cdot10^{-4}\big)\cdot1000\cdot10=-3\\ \mathrm{kg/m^{3}},ou seja a densidade passa para aproximadamente 997\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Isso mostra como aplicar a fórmula rapidamente na prova.

Resposta

\displaystyle \frac{d\rho}{dT}=-\beta\rho
\displaystyle \Delta\rho=-\beta\rho_{\mathrm{o}}\Delta T

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