a) Mostre que a variação da densidade com a temperatura pode ser dada por:
b) Mostre que, para pequenas variações de temperatura, esta relação pode ser aproximada por:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Mostrar que a variação da densidade com a temperatura satisfaz
. - (b) Mostrar que, para pequenas variações de temperatura, essa relação pode ser aproximada por
.
Informações e condições relevantes que temos (tudo que vamos usar depois):
- A densidade é definida como a massa dividida pelo volume:
. - A massa
do corpo é constante quando aquecemos (não há perda ou ganho de massa). - O coeficiente volumétrico de dilatação térmica
é definido por .
(Significado:mede a fração relativa de variação do volume por unidade de temperatura.) - Queremos manipular essas relações para obter (a) uma expressão diferencial e (b) a aproximação para pequenas variações
.
Passo 2
Relembrando e entendendo as fórmulas básicas (passo-a-passo, bem mastigado):
- Densidade:
. Aqui é a massa (constante) e é o volume, função da temperatura , ou seja . - Como
depende de , a densidade também depende de : . - O coeficiente
é uma definição que diz quanto o volume varia relativamente com : Isso significa que . Vou usar isso adiante.
Passo 3
Derivando
em relação a
(aplicando regra da cadeia / regra do quociente):
- Escrevemos
. - Diferenciando em relação a
: - Usando a regra
, obtemos
Passo 4
Expressando o resultado anterior em termos de
e
:
- Note que
. - Usando a definição de
, temos . - Substituindo essas identidades na expressão da derivada:
- Pronto: acabamos de demonstrar a relação pedida em (a).
Passo 5
Explicando e obtendo a aproximação para pequenas variações (parte b):
- Para uma pequena mudança de temperatura
ao redor de uma temperatura de referência , podemos usar a aproximação linear (expansão de Taylor de ordem 1): - Definindo
e substituindo avaliado em (ou seja ), obtemos - Subtraindo
dos dois lados: - Essa é a aproximação linear válida quando
é pequeno, porque desprezamos termos de ordem e superiores.
Passo 6
Intuição e exemplo rápido para fixar:
- Física: se o volume aumenta com a temperatura (
), a densidade diminui — daí o sinal negativo. - Exemplo numérico simples: se
, e , então ou seja a densidade passa para aproximadamente . Isso mostra como aplicar a fórmula rapidamente na prova.