21- Em qual dos pontos abaixo ocorre o valor máximo de f(x, y)=x^{2}-y^{2} sujeita à restrição x^{2}+y^{2}=25 ?
(a) (3,4)
(B) (5,0)
(c) (0,5)
(d) (4,3)
(e) NRA

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função objetivo é f(x,y)=x^{2}-y^{2}.
  • A restrição é a circunferência \;x^{2}+y^{2}=25.
  • O enunciado pergunta: em qual dos pontos abaixo ocorre o valor máximo de f sujeito a essa restrição?
    • (a) \,(3,4)
    • (B) \,(5,0)
    • (c) \,(0,5)
    • (d) \,(4,3)
    • (e) NRA
Não vou resolver nada ainda neste passo; apenas registrei as informações e as alternativas.

Passo 2

Escolha do método e plano curto (sem começar a calcular): como a restrição é x^{2}+y^{2}=25 (uma circunferência), dá para substituir \;y^{2}=25-x^{2} e transformar f numa função de uma variável só — esse é o método mais direto e simples aqui. Vou usar isso porque evita muita álgebra e é rápido na prova. Depois faço uma checagem pelo método dos multiplicadores de Lagrange, que é a técnica geral para extremos com restrição, só para você aprender também.

Passo 3

Substituição da restrição na função — transformar o problema num problema unidimensional.
  • A restrição dá \;y^{2}=25-x^{2}.
  • Substituindo em f:
f(x,y)=x^{2}-y^{2}=x^{2}-(25-x^{2})=x^{2}-25+x^{2}=2x^{2}-25.
Aqui defini uma função em uma variável: \;g(x)=2x^{2}-25, válida para x tal que \;x^{2}\le 25, ou seja \;x\in[-5,5].

Passo 4

Analisar a função \;g(x)=2x^{2}-25 para achar máximos em [-5,5].
  • Trata-se de uma parábola com coeficiente de x^{2} positivo ( 2>0), então ela tem um mínimo no ponto crítico e os máximos no intervalo fechado ocorrem nas extremidades do intervalo.
  • Calculo o derivado para ver o ponto crítico:
g'(x)=4x.
  • g'(x)=0 leva a x=0. Esse é o mínimo (porque a parábola abre para cima). Portanto os máximos em [-5,5] ocorrem em x=-5 ou x=5.
  • Avaliando:
g(5)=2\cdot 5^{2}-25=2\cdot25-25=25,
g(-5)=2\cdot(-5)^{2}-25=2\cdot25-25=25.
Ou seja, os pontos que maximizam são (5,0) e (-5,0) (ambos com valor máximo 25). Nas alternativas só aparece (5,0).

Passo 5

Avaliação direta das alternativas (para ter certeza e treinar cálculo rápido na prova):
  • Para (3,4):
f(3,4)=3^{2}-4^{2}=9-16=-7.
  • Para (5,0):
f(5,0)=5^{2}-0^{2}=25.
  • Para (0,5):
f(0,5)=0^{2}-5^{2}= -25.
  • Para (4,3):
f(4,3)=4^{2}-3^{2}=16-9=7.
Comparando: -7,\,25,\,-25,\,7 — o maior é 25, obtido em (5,0).

Passo 6

Checagem pelo método dos multiplicadores de Lagrange (aprender a técnica geral):
  • Monta-se a função de Lagrange \; \mathcal{L}(x,y,\lambda)=x^{2}-y^{2}-\lambda(x^{2}+y^{2}-25).
  • Derivadas parciais iguais a zero:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=2x-2\lambda x=2x(1-\lambda)=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=-2y-2\lambda y=-2y(1+\lambda)=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x^{2}+y^{2}-25)=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}=25.
  • Das duas primeiras equações vem:
    • ou x=0 ou \lambda=1;
    • ou y=0 ou \lambda=-1.
  • Combinando as possibilidades e usando a restrição:
    • Se \lambda=1 então da segunda equação precisa ter y=0. Com y=0 e a restrição temos x^{2}=25\Rightarrow x=\pm5 → pontos (\pm5,0).
    • Se \lambda=-1 então da primeira equação precisa ter x=0. Com x=0 e a restrição temos y=\pm5 → pontos (0,\pm5).
  • Avaliando f nesses pontos: em (\pm5,0) temos f=25; em (0,\pm5) temos f=-25. Portanto máximo 25 em (\pm5,0). Confere com o método direto.

Resposta

(B) (5,0)

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