21- Em qual dos pontos abaixo ocorre o valor máximo de
sujeita à restrição
?
(a)
(B)
(c)
(d)
(e) NRA
(a)
(B)
(c)
(d)
(e) NRA
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- A função objetivo é
. - A restrição é a circunferência
. - O enunciado pergunta: em qual dos pontos abaixo ocorre o valor máximo de
sujeito a essa restrição? - (a)
- (B)
- (c)
- (d)
- (e) NRA
- (a)
Não vou resolver nada ainda neste passo; apenas registrei as informações e as alternativas.
Passo 2
Escolha do método e plano curto (sem começar a calcular): como a restrição é
(uma circunferência), dá para substituir
e transformar
numa função de uma variável só — esse é o método mais direto e simples aqui. Vou usar isso porque evita muita álgebra e é rápido na prova. Depois faço uma checagem pelo método dos multiplicadores de Lagrange, que é a técnica geral para extremos com restrição, só para você aprender também.
Passo 3
Substituição da restrição na função — transformar o problema num problema unidimensional.
- A restrição dá
. - Substituindo em
:
Aqui defini uma função em uma variável:
, válida para
tal que
, ou seja
.
Passo 4
Analisar a função
para achar máximos em
.
- Trata-se de uma parábola com coeficiente de
positivo ( ), então ela tem um mínimo no ponto crítico e os máximos no intervalo fechado ocorrem nas extremidades do intervalo. - Calculo o derivado para ver o ponto crítico:
-
leva a . Esse é o mínimo (porque a parábola abre para cima). Portanto os máximos em ocorrem em ou . -
Avaliando:
Ou seja, os pontos que maximizam são
e
(ambos com valor máximo
). Nas alternativas só aparece
.
Passo 5
Avaliação direta das alternativas (para ter certeza e treinar cálculo rápido na prova):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Comparando:
— o maior é
, obtido em
.
Passo 6
Checagem pelo método dos multiplicadores de Lagrange (aprender a técnica geral):
- Monta-se a função de Lagrange
. - Derivadas parciais iguais a zero:
- Das duas primeiras equações vem:
- ou
ou ; - ou
ou .
- ou
- Combinando as possibilidades e usando a restrição:
- Se
então da segunda equação precisa ter . Com e a restrição temos → pontos . - Se
então da primeira equação precisa ter . Com e a restrição temos → pontos .
- Se
- Avaliando
nesses pontos: em temos ; em temos . Portanto máximo em . Confere com o método direto.
Resposta
(B)