18-Seja f(x, y)=x y+\frac{2}{x}+\frac{4}{y}. Então podemos afirmar que o ponto (1,2)
C) é um ponto de mínimo relativo
a) não é ponto crítico
b) é um ponto de máximo relativo
d) é um ponto de sela
e) NRA
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=x y+\dfrac{2}{x}+\dfrac{4}{y} e o ponto (1,2). Pergunta-se qual das alternativas descreve corretamente a natureza desse ponto:
(a) não é ponto crítico
(b) é um ponto de máximo relativo
(c) é um ponto de mínimo relativo
(d) é um ponto de sela
(e) NRA
Passo 2
Primeiro, anotar o domínio de f. A função tem termos \dfrac{2}{x} e \dfrac{4}{y}, portanto x e y não podem ser zero. O domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq0,\; y\neq0\}.
O ponto (1,2) está no domínio, então podemos calcular derivadas parciais ali.
Passo 3
Definição e cálculo das derivadas parciais (gradiente). Um ponto crítico é um ponto do domínio onde o gradiente de f é nulo (todas as derivadas parciais iguais a zero) ou onde alguma derivada parcial não existe. O gradiente é o vetor formado por \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Vamos calcular as derivadas parciais usando regras básicas:
Regra do poder: \dfrac{d}{dx} x^{n} = n x^{n-1}.
Derivada de constante em relação à variável é zero.
Escrevendo os termos como potências: \dfrac{2}{x}=2x^{-1} e \dfrac{4}{y}=4y^{-1}.
Cálculo:
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\!\left(xy + 2x^{-1} + 4y^{-1}\right) = y + 2\cdot(-1)x^{-2} + 0 = y - \frac{2}{x^{2}}.
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\!\left(xy + 2x^{-1} + 4y^{-1}\right) = x + 0 + 4\cdot(-1)y^{-2} = x - \frac{4}{y^{2}}.
Para classificar um ponto crítico em duas variáveis usamos o teste das segundas derivadas (teste do Hessiano). Precisamos das segundas derivadas parciais:
Temos D=3>0 e f_{xx}(1,2)=4>0. Pelo teste das segundas derivadas, isso implica que (1,2) é um ponto de mínimo relativo.
Passo 7
Interpretação final e ânimo: concluímos matematicamente que (1,2) é um ponto crítico e, por causa do determinante do Hessiano positivo e da concavidade positiva na direção x (f_{xx}>0), o ponto é um mínimo relativo. Mandou bem em trazer essa questão — classificações assim são rotina em provas e agora você tem a receita passo a passo.