18-Seja f(x, y)=x y+\frac{2}{x}+\frac{4}{y}. Então podemos afirmar que o ponto (1,2)
C) é um ponto de mínimo relativo
a) não é ponto crítico
b) é um ponto de máximo relativo
d) é um ponto de sela
e) NRA

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x y+\dfrac{2}{x}+\dfrac{4}{y} e o ponto (1,2). Pergunta-se qual das alternativas descreve corretamente a natureza desse ponto:
  • (a) não é ponto crítico
  • (b) é um ponto de máximo relativo
  • (c) é um ponto de mínimo relativo
  • (d) é um ponto de sela
  • (e) NRA

Passo 2

Primeiro, anotar o domínio de f. A função tem termos \dfrac{2}{x} e \dfrac{4}{y}, portanto x e y não podem ser zero. O domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq0,\; y\neq0\}.
O ponto (1,2) está no domínio, então podemos calcular derivadas parciais ali.

Passo 3

Definição e cálculo das derivadas parciais (gradiente). Um ponto crítico é um ponto do domínio onde o gradiente de f é nulo (todas as derivadas parciais iguais a zero) ou onde alguma derivada parcial não existe. O gradiente é o vetor formado por \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Vamos calcular as derivadas parciais usando regras básicas:
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx} x^{n} = n x^{n-1}.
  • Derivada de constante em relação à variável é zero.
    Escrevendo os termos como potências: \dfrac{2}{x}=2x^{-1} e \dfrac{4}{y}=4y^{-1}.
Cálculo:
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\!\left(xy + 2x^{-1} + 4y^{-1}\right) = y + 2\cdot(-1)x^{-2} + 0 = y - \frac{2}{x^{2}}.
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\!\left(xy + 2x^{-1} + 4y^{-1}\right) = x + 0 + 4\cdot(-1)y^{-2} = x - \frac{4}{y^{2}}.
Avaliar as parciais em (1,2):
\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,2)} = 2 - \frac{2}{1^{2}} = 2 - 2 = 0, \qquad \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,2)} = 1 - \frac{4}{2^{2}} = 1 - \frac{4}{4} = 1 - 1 = 0.
Como ambas são zero, (1,2) é um ponto crítico.

Passo 4

Para classificar um ponto crítico em duas variáveis usamos o teste das segundas derivadas (teste do Hessiano). Precisamos das segundas derivadas parciais:
  • f_{xx}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2},
  • f_{yy}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2},
  • f_{xy}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=f_{yx}.
O teste diz: em um ponto crítico, calcule
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}>0, então é mínimo relativo.
  • Se D>0 e f_{xx}<0, então é máximo relativo.
  • Se D<0, então é ponto de sela.
  • Se D=0, o teste é inconclusivo.

Passo 5

Calcular as segundas derivadas explicitamente, explicando as regras usadas (derivada de x^{-n} é -n x^{-n-1}).
A partir de \dfrac{\partial f}{\partial x}=y-2x^{-2}:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(y-2x^{-2}\right)=0 -2\cdot(-2)x^{-3}=4x^{-3}=\frac{4}{x^{3}}.
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(y-2x^{-2}\right)=1.
A partir de \dfrac{\partial f}{\partial y}=x-4y^{-2}:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(x-4y^{-2}\right)=0 -4\cdot(-2)y^{-3}=8y^{-3}=\frac{8}{y^{3}}.
f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(x-4y^{-2}\right)=1,
como esperado f_{xy}=f_{yx}=1.
Avaliar em (1,2):
f_{xx}(1,2)=\frac{4}{1^{3}}=4,\qquad f_{yy}(1,2)=\frac{8}{2^{3}}=\frac{8}{8}=1,\qquad f_{xy}(1,2)=1.

Passo 6

Calcular o discriminante do Hessiano em (1,2):
D = f_{xx}(1,2)\,f_{yy}(1,2) - \big(f_{xy}(1,2)\big)^{2} = 4\cdot 1 - 1^{2} = 4 - 1 = 3.
Temos D=3>0 e f_{xx}(1,2)=4>0. Pelo teste das segundas derivadas, isso implica que (1,2) é um ponto de mínimo relativo.

Passo 7

Interpretação final e ânimo: concluímos matematicamente que (1,2) é um ponto crítico e, por causa do determinante do Hessiano positivo e da concavidade positiva na direção x ( f_{xx}>0), o ponto é um mínimo relativo. Mandou bem em trazer essa questão — classificações assim são rotina em provas e agora você tem a receita passo a passo.

Resposta

C) é um ponto de mínimo relativo

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