21.21 Saber que, em todos os processos que envolvem um sistema isolado, a carga total não pode variar (a carga total é uma grandeza conservada).

Passo 1

O enunciado nos pede para saber/mostrar que, em todos os processos que envolvem um sistema isolado, a carga total não pode variar — ou seja, que a carga total é uma grandeza conservada.
Informações fornecidas implicitamente pelo enunciado:
  • Existe um sistema isolado (não entra nem sai carga elétrica pela fronteira do sistema).
  • Deseja-se afirmar/justificar que a carga total do sistema permanece constante ao longo do tempo.

Passo 2

Definir a carga total e as grandezas locais.
  • Seja \rho(\mathbf{r},t) a densidade volumétrica de carga elétrica no ponto de posição \mathbf{r} no instante t. Aqui, \rho tem unidades de carga por volume (por exemplo, coulomb por metro cúbico).
  • Seja \mathbf{J}(\mathbf{r},t) a densidade de corrente elétrica (vetor) no ponto \mathbf{r} no instante t. A componente \mathbf{J}\cdot\mathbf{\hat{n}} mede o fluxo de carga saindo por uma superfície com normal \mathbf{\hat{n}}.
  • A carga total dentro de um volume V que contém o sistema é
Q(t)=\int_{V} \rho(\mathbf{r},t)\, dV.
Expliquei: Q(t) é a soma (integral) da densidade de carga em todo o volume do sistema.

Passo 3

Relacione a variação temporal da carga total com a densidade de carga local.
Diferenciando Q(t) em relação ao tempo:
\frac{dQ}{dt}=\frac{d}{dt}\int_{V}\rho(\mathbf{r},t)\, dV=\int_{V}\frac{\partial\rho(\mathbf{r},t)}{\partial t}\, dV,
onde, para volumes fixos no espaço, a derivada temporal entra dentro da integral (explicação: estamos acompanhando como a densidade muda em cada ponto do volume ao longo do tempo).

Passo 4

Introduzir a equação de continuidade (lei de conservação local da carga).
A equação que expressa conservação local da carga é
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J}=0.
Explicação didática dessa fórmula:
  • \frac{\partial \rho}{\partial t} é a taxa de variação local da densidade de carga.
  • \nabla\cdot\mathbf{J} é a divergência do fluxo de corrente; mede quanto fluxo de carga está “saindo” localmente (se for positivo há saída líquida).
  • A equação diz, em palavras: a mudança local da densidade de carga é compensada pelo fluxo de carga que sai ou entra — é a forma diferencial da conservação de carga. Se a divergência é positiva (sai carga), a densidade local diminui, e vice-versa.
Observação prática: essa equação pode ser tomada como postulado de conservação de carga ou deduzida das equações de Maxwell (ver passo opcional adiante).

Passo 5

Use a equação de continuidade para transformar a expressão de dQ/dt.
Substituindo \partial\rho/\partial t = -\nabla\cdot\mathbf{J} em dQ/dt:
\frac{dQ}{dt}=\int_{V}\frac{\partial\rho}{\partial t}\, dV = -\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{J}\, dV.

Passo 6

Aplicar o teorema da divergência (Gauss) à integral do lado direito.
O teorema da divergência diz que, para um volume V com superfície fechada S e normal externa \mathbf{\hat{n}},
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{J}\, dV = \oint_{S} \mathbf{J}\cdot\mathbf{\hat{n}} \, dS.
Portanto
\frac{dQ}{dt} = -\oint_{S} \mathbf{J}\cdot\mathbf{\hat{n}} \, dS.
Interpretação física: \oint_{S} \mathbf{J}\cdot\mathbf{\hat{n}} \, dS é a taxa de saída de carga através da superfície que delimita o volume V.

Passo 7

Usar a condição de sistema isolado.
Para um sistema isolado não entra nem sai carga pela fronteira, isto é, a corrente atravessando a superfície é nula em todo tempo:
\mathbf{J}\cdot\mathbf{\hat{n}} = 0 \quad \text{na superfície } S,í
logo
\oint_{S} \mathbf{J}\cdot\mathbf{\hat{n}} \, dS = 0.
Substituindo na expressão anterior:
\frac{dQ}{dt} = -0 = 0.
Conclusão: a derivada temporal da carga total é zero, portanto Q(t) é constante no tempo.

Passo 8

Interpretação final, exemplos e intuição para prova.
  • Matemática-concisa: a conservação local (equação de continuidade) + ausência de fluxo pela fronteira (sistema isolado) implica dQ/dt=0.
  • Intuição simples: se nada sai nem entra do volume, a soma das cargas dentro não pode mudar — é como fechar uma caixa com bolinhas coloridas: se nenhuma bolinha passa pela caixa, o número total dentro permanece o mesmo, mesmo que as bolinhas se movam internamente.
  • Exemplo prático de uso em prova: em um problema com re-distribuição de cargas internas (por exemplo, condutores que se tocam dentro de um invólucro fechado), pode-se afirmar sem cálculo que a soma algébrica das cargas antes e depois é a mesma — basta justificar que o invólucro impede troca de carga com o exterior.
Observação técnica: em teorias mais avançadas (física de partículas) existem processos com criação/aniquilação de partículas, mas mesmo nesses contextos a carga elétrica total (ou seja, a soma algébrica das cargas) continua a ser conservada; aqui tratamos da lei de conservação da carga elétrica como uma lei geral.

Resposta

A carga total de um sistema isolado é constante no tempo; ou seja, a carga total é uma grandeza conservada.

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