21.21 Saber que, em todos os processos que envolvem um sistema isolado, a carga total não pode variar (a carga total é uma grandeza conservada).
Passo 1
O enunciado nos pede para saber/mostrar que, em todos os processos que envolvem um sistema isolado, a carga total não pode variar — ou seja, que a carga total é uma grandeza conservada.
Informações fornecidas implicitamente pelo enunciado:
Informações fornecidas implicitamente pelo enunciado:
- Existe um sistema isolado (não entra nem sai carga elétrica pela fronteira do sistema).
- Deseja-se afirmar/justificar que a carga total do sistema permanece constante ao longo do tempo.
Passo 2
Definir a carga total e as grandezas locais.
- Seja
a densidade volumétrica de carga elétrica no ponto de posição no instante . Aqui, tem unidades de carga por volume (por exemplo, coulomb por metro cúbico). - Seja
a densidade de corrente elétrica (vetor) no ponto no instante . A componente mede o fluxo de carga saindo por uma superfície com normal . - A carga total dentro de um volume
que contém o sistema é
Expliquei:
é a soma (integral) da densidade de carga em todo o volume do sistema.
Passo 3
Relacione a variação temporal da carga total com a densidade de carga local.
Diferenciando em relação ao tempo:
Diferenciando
onde, para volumes fixos no espaço, a derivada temporal entra dentro da integral (explicação: estamos acompanhando como a densidade muda em cada ponto do volume ao longo do tempo).
Passo 4
Introduzir a equação de continuidade (lei de conservação local da carga).
A equação que expressa conservação local da carga é
A equação que expressa conservação local da carga é
Explicação didática dessa fórmula:
-
é a taxa de variação local da densidade de carga. -
é a divergência do fluxo de corrente; mede quanto fluxo de carga está “saindo” localmente (se for positivo há saída líquida). - A equação diz, em palavras: a mudança local da densidade de carga é compensada pelo fluxo de carga que sai ou entra — é a forma diferencial da conservação de carga. Se a divergência é positiva (sai carga), a densidade local diminui, e vice-versa.
Observação prática: essa equação pode ser tomada como postulado de conservação de carga ou deduzida das equações de Maxwell (ver passo opcional adiante).
Passo 5
Use a equação de continuidade para transformar a expressão de
.
Substituindo em
:
Substituindo
Passo 6
Aplicar o teorema da divergência (Gauss) à integral do lado direito.
O teorema da divergência diz que, para um volume com superfície fechada
e normal externa
,
O teorema da divergência diz que, para um volume
Portanto
Interpretação física:
é a taxa de saída de carga através da superfície que delimita o volume
.
Passo 7
Usar a condição de sistema isolado.
Para um sistema isolado não entra nem sai carga pela fronteira, isto é, a corrente atravessando a superfície é nula em todo tempo:
Para um sistema isolado não entra nem sai carga pela fronteira, isto é, a corrente atravessando a superfície é nula em todo tempo:
logo
Substituindo na expressão anterior:
Conclusão: a derivada temporal da carga total é zero, portanto
é constante no tempo.
Passo 8
Interpretação final, exemplos e intuição para prova.
- Matemática-concisa: a conservação local (equação de continuidade) + ausência de fluxo pela fronteira (sistema isolado) implica
. - Intuição simples: se nada sai nem entra do volume, a soma das cargas dentro não pode mudar — é como fechar uma caixa com bolinhas coloridas: se nenhuma bolinha passa pela caixa, o número total dentro permanece o mesmo, mesmo que as bolinhas se movam internamente.
- Exemplo prático de uso em prova: em um problema com re-distribuição de cargas internas (por exemplo, condutores que se tocam dentro de um invólucro fechado), pode-se afirmar sem cálculo que a soma algébrica das cargas antes e depois é a mesma — basta justificar que o invólucro impede troca de carga com o exterior.
Observação técnica: em teorias mais avançadas (física de partículas) existem processos com criação/aniquilação de partículas, mas mesmo nesses contextos a carga elétrica total (ou seja, a soma algébrica das cargas) continua a ser conservada; aqui tratamos da lei de conservação da carga elétrica como uma lei geral.
Resposta
A carga total de um sistema isolado é constante no tempo; ou seja, a carga total é uma grandeza conservada.