5.23 Um dipolo com
está posicionado em
no espaço livre, e o plano
é perfeitamente condutor. (a) Calcule
em
. (b) Encontre a equação da superfície equipotencial de 200 V em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado dá um dipolo elétrico com momento
colocado em
no espaço livre e o plano
é um condutor perfeito. São pedidas duas coisas:
- (a) Calcular o potencial
no ponto . - (b) Determinar a equação da superfície equipotencial de
em coordenadas cartesianas.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- Posição do dipolo:
. - Momento de dipolo:
. - Plano condutor:
(assumimos here que está aterrado, ou seja, no plano). - Ponto onde queremos o potencial:
.
Passo 2
Explicando o método que vamos usar (método das imagens), de forma bem didática:
- Quando temos um condutor plano infinito e perfeito em
mantido a potencial constante (aqui assumimos ), podemos substituir o efeito do condutor pela presença de imagens dos elementos de carga do lado físico, colocadas no lado espelhado . Isso garante a condição de contorno em todo o plano . - Para um dipolo elétrico localizado em
com momento , podemos imaginar o dipolo como o limite de duas cargas e separadas por um vetor pequeno , com . As imagens dessas duas cargas (para plano aterrado) terão sinais trocados e posições espelhadas; ao recompor isso no limite do dipolo, obtém-se a imagem do dipolo. - O resultado (que podemos obter seguindo esse raciocínio com as duas cargas) é: a imagem do dipolo fica na posição refletida
reflexão de em (ou seja, trocar por ), e o momento imagem é dado por
onde
inverte a componente
do vetor. Escrevendo componentes, se
então
- No nosso caso
, ou seja . Logo a imagem tem
isto é, a componente
do momento troca de sinal.
Passo 3
Agora a fórmula do potencial devido a um dipolo pontual em espaço livre: para um dipolo
localizado em
, o potencial em
(em SI) é
Aqui
é a permissividade do vácuo e
é o produto escalar entre o momento e o vetor posição relativo (isso dá a parte escalar no numerador). Para o caso com condutor aterrado, pelo princípio da superposição usamos a soma do potencial do dipolo real e do dipolo imagem:
No nosso caso as posições são
,
e os momentos são
com
e
. Como ambos os momentos apontam na direção
, os produtos escalares reduzem-se a multiplicações pela coordenada
:
Portanto o potencial simplifica para
Passo 4
Cálculo numérico do item (a):
no ponto
.
Primeiro convertemos o momento para SI:
Usamos a constante
Para
temos os vetores:
Suas normas:
Agora calculamos cada termo do potencial. Para simplificar numérico definimos
O termo da fonte (dipolo real) é
O termo da imagem é
Somando:
Portanto o potencial em
é aproximadamente
.
Passo 5
Item (b): equação da superfície equipotencial de
.
Partindo da expressão geral obtida no Passo 3, impondo
V, substituímos
(como no cálculo numérico) e obtemos a equação em coordenadas cartesianas:
Podemos dividir ambos os lados por
e simplificar o número; dividindo por
fica mais compacto:
Essa é a equação da superfície equipotencial de
em coordenadas cartesianas.