5.23 Um dipolo com \mathbf{p}=0,1 \mathbf{a}_{z} \mu \mathrm{C} \cdot \mathrm{m} está posicionado em A(1,0,0) no espaço livre, e o plano x=0 é perfeitamente condutor. (a) Calcule V em P(2,0,1). (b) Encontre a equação da superfície equipotencial de 200 V em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado dá um dipolo elétrico com momento \mathbf{p}=0,1\,\mathbf{a}_{z}\\ \mu\mathrm{C}\cdot\mathrm{m} colocado em A(1,0,0) no espaço livre e o plano x=0 é um condutor perfeito. São pedidas duas coisas:
  1. (a) Calcular o potencial V no ponto P(2,0,1).
  2. (b) Determinar a equação da superfície equipotencial de 200\\ \mathrm{V} em coordenadas cartesianas.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Posição do dipolo: \; \mathbf{r}_0=(1,0,0).
  • Momento de dipolo: \; \mathbf{p}=0,1\,\mathbf{a}_z\\ \mu\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}.
  • Plano condutor: \; x=0 (assumimos here que está aterrado, ou seja, V=0 no plano).
  • Ponto onde queremos o potencial: \; \mathbf{r}_P=(2,0,1).

Passo 2

Explicando o método que vamos usar (método das imagens), de forma bem didática:
  • Quando temos um condutor plano infinito e perfeito em x=0 mantido a potencial constante (aqui assumimos V=0), podemos substituir o efeito do condutor pela presença de imagens dos elementos de carga do lado físico, colocadas no lado espelhado x<0. Isso garante a condição de contorno V=0 em todo o plano x=0.
  • Para um dipolo elétrico localizado em \mathbf{r}_0 com momento \mathbf{p}, podemos imaginar o dipolo como o limite de duas cargas +q e -q separadas por um vetor pequeno \mathbf{d}, com \mathbf{p}=q\mathbf{d}. As imagens dessas duas cargas (para plano aterrado) terão sinais trocados e posições espelhadas; ao recompor isso no limite do dipolo, obtém-se a imagem do dipolo.
  • O resultado (que podemos obter seguindo esse raciocínio com as duas cargas) é: a imagem do dipolo fica na posição refletida \mathbf{r}_0'= reflexão de \mathbf{r}_0 em x=0 (ou seja, trocar x por -x), e o momento imagem \mathbf{p}' é dado por
\mathbf{p}' = -\,\mathrm{Ref}_x(\mathbf{p}),
onde \mathrm{Ref}_x inverte a componente x do vetor. Escrevendo componentes, se \mathbf{p}=(p_x,p_y,p_z) então
\mathbf{p}'=(p_x,-p_y,-p_z).
  • No nosso caso \mathbf{p}=0{,}1\,\mathbf{a}_z\\ \mu\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}, ou seja p_x=0,\\ p_y=0,\\ p_z=0{,}1\\ \mu\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}. Logo a imagem tem
\mathbf{r}_0' =(-1,0,0),\qquad \mathbf{p}'=(0,-0,-0{,}1\\ \mu\mathrm{C}\cdot\mathrm{m})=(0,0,-0{,}1\\ \mu\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}),
isto é, a componente z do momento troca de sinal.

Passo 3

Agora a fórmula do potencial devido a um dipolo pontual em espaço livre: para um dipolo \mathbf{p} localizado em \mathbf{r}_0, o potencial em \mathbf{r} (em SI) é
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^{3}}.
Aqui \epsilon_0 é a permissividade do vácuo e \mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) é o produto escalar entre o momento e o vetor posição relativo (isso dá a parte escalar no numerador). Para o caso com condutor aterrado, pelo princípio da superposição usamos a soma do potencial do dipolo real e do dipolo imagem:
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^{3}}+\frac{\mathbf{p}'\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0'|^{3}}\right).
No nosso caso as posições são \mathbf{r}_0=(1,0,0), \mathbf{r}_0'=(-1,0,0) e os momentos são \mathbf{p}=p\,\mathbf{a}_z com p=0{,}1\,\mu\mathrm{C}\cdot\mathrm{m} e \mathbf{p}'=-p\,\mathbf{a}_z. Como ambos os momentos apontam na direção z, os produtos escalares reduzem-se a multiplicações pela coordenada z:
\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=p\,(z-0)=p z, \qquad \mathbf{p}'\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0')=(-p)\,(z-0)=-p z.
Portanto o potencial simplifica para
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,p\,z\left(\frac{1}{\big[(x-1)^2+y^2+z^2\big]^{3/2}}-\frac{1}{\big[(x+1)^2+y^2+z^2\big]^{3/2}}\right).

Passo 4

Cálculo numérico do item (a): V no ponto P(2,0,1).
Primeiro convertemos o momento para SI:
p=0{,}1\\ \mu\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}=0{,}1\times10^{-6}\\ \mathrm{C}\cdot\mathrm{m}=1\times10^{-7}\\ \mathrm{C}\cdot\mathrm{m}.
Usamos a constante
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\approx 9\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
Para P(2,0,1) temos os vetores:
\mathbf{r}-\mathbf{r}_0=(2-1,0,1-0)=(1,0,1),\qquad \mathbf{r}-\mathbf{r}_0'=(2-(-1),0,1-0)=(3,0,1).
Suas normas:
|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2},\qquad |\mathbf{r}-\mathbf{r}_0'|=\sqrt{3^2+0^2+1^2}=\sqrt{10}.
Agora calculamos cada termo do potencial. Para simplificar numérico definimos
k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\approx 9\times10^{9},\qquad k\,p=9\times10^{9}\times 1\times10^{-7}=900.
O termo da fonte (dipolo real) é
V_{\text{real}}=k\,p\;\frac{z}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^{3}} =900\cdot\frac{1}{(\sqrt{2})^{3}} =900\cdot\frac{1}{2{,}828427124746\dots} \approx 318{,}20\\ \mathrm{V}.
O termo da imagem é
V_{\text{imagem}}=k\,p'\;\frac{z}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0'|^{3}} =900\cdot(-1)\cdot\frac{1}{(\sqrt{10})^{3}} = -\,900\cdot\frac{1}{31{,}622776601683\dots} \approx -28{,}46\\ \mathrm{V}.
Somando:
V(P)=V_{\text{real}}+V_{\text{imagem}}\approx 318{,}20 - 28{,}46 = 289{,}74\\ \mathrm{V}.
Portanto o potencial em P é aproximadamente 289{,}74\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Item (b): equação da superfície equipotencial de 200\\ \mathrm{V}.
Partindo da expressão geral obtida no Passo 3, impondo V(\mathbf{r})=200 V, substituímos k p=900 (como no cálculo numérico) e obtemos a equação em coordenadas cartesianas:
900\, z\left(\frac{1}{\big[(x-1)^2+y^2+z^2\big]^{3/2}}-\frac{1}{\big[(x+1)^2+y^2+z^2\big]^{3/2}}\right)=200.
Podemos dividir ambos os lados por 100 e simplificar o número; dividindo por 900 fica mais compacto:
z\left(\frac{1}{\big[(x-1)^2+y^2+z^2\big]^{3/2}}-\frac{1}{\big[(x+1)^2+y^2+z^2\big]^{3/2}}\right)=\frac{200}{900}=\frac{2}{9}.
Essa é a equação da superfície equipotencial de 200\\ \mathrm{V} em coordenadas cartesianas.

Resposta

V(P)\approx 289{,}74\\ \mathrm{V}
z\!\left(\frac{1}{\big[(x-1)^2+y^2+z^2\big]^{3/2}}-\frac{1}{\big[(x+1)^2+y^2+z^2\big]^{3/2}}\right)=\frac{2}{9}.

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