21{ }^{\text {a }} ) Uma companhia produz circuitos integrados em três fábricas, I, II e III. A fábrica I produz 40 \% dos circuitos, enquanto a II e a III produzem 30 \% cada uma. As probabilidades de que um circuito integrado produzido por estas fábricas não funcione são 0,01,0,04 e 0,03 , respectivamente. Qual a probabilidade de um circuito integrado, selecionado aleatoriamente, não funcionar? Dado que sabemos que o circuito integrado selecionado aleatoriamente não funciona, qual a probabilidade de ter sido produzido pela fábrica I?

Passo 1

O enunciado envolve três fábricas (I, II e III) que produzem frações diferentes dos circuitos integrados e cada uma tem uma taxa de defeito distinta. Precisamos usar a lei da probabilidade total para encontrar a probabilidade de um circuito não funcionar e, em seguida, o teorema de Bayes para achar a probabilidade de ter vindo da fábrica I dado que ele não funciona.

Passo 2

Vamos definir os eventos: \!F_I, \!F_{II}, \!F_{III} = “o circuito vem da fábrica I, II e III”, com
P(F_I)=0,40,\quad P(F_{II})=0,30,\quad P(F_{III})=0,30.
E D = “o circuito não funciona”, com
P(D\mid F_I)=0,01,\quad P(D\mid F_{II})=0,04,\quad P(D\mid F_{III})=0,03.
Pela lei da probabilidade total,
P(D)=P(F_I)\,P(D\mid F_I)+P(F_{II})\,P(D\mid F_{II})+P(F_{III})\,P(D\mid F_{III}).
Substituindo,
P(D)=0,40\cdot0,01+0,30\cdot0,04+0,30\cdot0,03 =0,004+0,012+0,009 =0,025.

Passo 3

Para achar P(F_I\mid D) usamos o teorema de Bayes:
P(F_I\mid D) =\frac{P(F_I)\,P(D\mid F_I)}{P(D)} =\frac{0,40\cdot0,01}{0,025} =\frac{0,004}{0,025} =0,16.

Resposta

P(\text{não funciona}) = 0,025. P(\text{fábrica I}\mid \text{não funciona}) = 0,16.ãáã

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