e analise as afirmações abaixo.
I. Se os termos a_{n} tendem a zero, então a série necessariamente converge.
II. Se a série converge, então a sequência dos termos a_{n} tende a zero.
III. Uma série com termos todos positivos sempre diverge.
IV. Se as somas parciais da série se aproximam de um número real, então a série converge.
Assinale a alternativa correta.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas II e IV são verdadeiras.
(C) Apenas I, II e IV são verdadeiras.
(D) Apenas II, III e IV são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado nos dá uma série numérica
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}
e pede para analisar a veracidade das quatro afirmações I–IV. Vou listar cada uma exatamente como está no enunciado:
I. Se os termos a_{n} tendem a zero, então a série necessariamente converge.
II. Se a série converge, então a sequência dos termos a_{n} tende a zero.
III. Uma série com termos todos positivos sempre diverge.
IV. Se as somas parciais da série se aproximam de um número real, então a série converge.
Informações relevantes dadas: somente a existência da série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}. O objetivo é decidir, para cada afirmação, se é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, uma definição clara (a base para tudo): a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} é dita convergente se a sequência das somas parciais
s_N = \sum_{n=1}^{N} a_{n}
converge para algum número real S quando N\to\infty. Ou seja, a série converge se e só se existir
\lim_{N\to\infty} s_N = S \in \mathbb{R}.
Uma consequência muito usada (e fácil de demonstrar) é: se a série converge com soma S, então necessariamente
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Isso é porque a_n = s_n - s_{n-1} e a diferença entre termos consecutivos de uma sequência convergente tende a zero. Vou provar isso com calma no passo pertinente.
Importante distinguir: “condição necessária” versus “condição suficiente”. Dizer que "se a série converge então a_n\to0" é uma condição necessária (convergência implica a_n\to0). Dizer que “se a_n\to0 então a série converge” seria uma condição suficiente. Nem toda condição necessária é suficiente.
Passo 3
Afirmação I: “Se os termos a_{n} tendem a zero, então a série necessariamente converge.”
Esta afirmação é falsa. Vou mostrar um contraexemplo clássico e simples: a série harmônica.
e assim por diante. Observe que em cada bloco com 2^{k-1} termos (os termos de índice 2^{k-1}+1 até 2^{k}) cada termo é pelo menos \tfrac{1}{2^{k}}. Então a soma desse bloco é pelo menos
Como m\to\infty implica 1+\dfrac{m}{2}\to\infty, os s_{2^m} divergem, portanto a série diverge. Concluímos que ter a_n\to0 não garante convergência da série. Logo I é falsa.
Passo 4
Afirmação II: “Se a série converge, então a sequência dos termos a_{n} tende a zero.”
Esta afirmação é verdadeira. Prova direta e curtinha, bem útil na prova:
Suponha que \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge; seja s_n=\sum_{k=1}^{n} a_k a sequência de somas parciais e suponha \lim_{n\to\infty} s_n = S para algum S\in\mathbb{R}. Então, para todo n\ge2,
a_n = s_n - s_{n-1}.
Como s_n\to S e s_{n-1}\to S, a diferença tende a zero:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} (s_n - s_{n-1}) = S - S = 0.
Portanto II é verdadeira. (Isso mostra também que a condição a_n\to0 é necessária.)
Passo 5
Afirmação III: “Uma série com termos todos positivos sempre diverge.”
Essa afirmação é falsa. Séries com termos positivos podem tanto divergir quanto convergir; depende da rapidez com que os termos vão a zero. Um contraexemplo simples de série com termos positivos que converge é a série geométrica com razão r tal que 0<r<1.
Exemplo: tome a_n=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n, todos os termos são positivos. A soma parcial S_N é a soma geométrica
S_N = \sum_{n=1}^{N} \left(\tfrac{1}{2}\right)^n.
A fórmula da soma de uma progressão geométrica (fórmula fácil de provar: multiplicar por r e subtrair) dá
Portanto \sum_{n=1}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^n = 1 converge. Assim, ter termos positivos não implica divergência; a afirmação III é falsa.
Passo 6
Afirmação IV: “Se as somas parciais da série se aproximam de um número real, então a série converge.”
Isto é exatamente a definição de série convergente. Se a sequência das somas parciais s_N=\sum_{n=1}^{N} a_n tem limite finito S\in\mathbb{R} quando N\to\infty, por definição dizemos que a série converge e sua soma é S. Portanto IV é verdadeira.
Passo 7
Resumindo:
I é falsa (contraexemplo: série harmônica \sum 1/n).
II é verdadeira (prova por diferença de somas parciais).
III é falsa (contraexemplo: série geométrica com razão 0<r<1).
IV é verdadeira (é a definição de convergência de série).
Logo as únicas afirmações verdadeiras são II e IV. A alternativa correta é a (B).