Seja o operador linear
. Quais dos vetores pertencem ao núcleo de
: Dica:
se, e somente se,
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
definido por
Pede para verificar quais dos vetores pertencem ao núcleo de
. A dica lembra que
se, e somente se,
.
O vetor que precisamos testar é
. Vou checar se
e também explicar como resolver isso em geral (para usar na prova).
Passo 2
Ideia prática (fórmula que uso na prova): o núcleo
é o conjunto de soluções do sistema linear obtido ao igualar
a
. Posso escrever
como multiplicação por uma matriz:
Então
.
Na prática, isso vira o sistema de equações:
Na prática, isso vira o sistema de equações:
Passo 3
Agora aplico essa ideia ao vetor dado. Calculo
componente a componente:
primeira componente:
primeira componente:
segunda componente:
Portanto
Como
, pelo critério da dica,
pertence a
.
Passo 4
Explicação mais geral (útil na prova): observe que a segunda equação do sistema é exatamente o dobro da primeira, porque a segunda linha da matriz é
vezes a primeira. Isso significa que só temos uma equação independente:
Parametrizando por
obtemos todas as soluções:
Logo o núcleo é a reta gerada por
:
Isto diz também que
. Na prova, ao ver que as linhas (ou colunas) da matriz são múltiplas, já dá para concluir que o núcleo tem dimensão maior que zero; resolver uma equação dá a descrição completa.
Passo 5
Dica prática final e ânimo: para saber se um vetor está no núcleo, basta multiplicar a matriz pelo vetor e ver se dá o vetor nulo — como fiz no Passo 3. Se precisar listar uma base do núcleo, resolva o sistema e escreva a parametrização (aqui deu
). Vai dar tudo certo — respira e aplica esse passo a passo na prova!