Seja o operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(2 x+y, 4 x+2 y). Quais dos vetores pertencem ao núcleo de T : Dica: (x, y) \in N(T) se, e somente se, T(x, y)=(0,0)
(1,-2)

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y) = (2x+y,\;4x+2y).
Pede para verificar quais dos vetores pertencem ao núcleo de T. A dica lembra que (x,y)\in N(T) se, e somente se, T(x,y)=(0,0).
O vetor que precisamos testar é (1,-2). Vou checar se T(1,-2)=(0,0) e também explicar como resolver isso em geral (para usar na prova).

Passo 2

Ideia prática (fórmula que uso na prova): o núcleo N(T) é o conjunto de soluções do sistema linear obtido ao igualar T(x,y) a (0,0). Posso escrever T como multiplicação por uma matriz:
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}, \qquad T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.
Então N(T)=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}\right\}.
Na prática, isso vira o sistema de equações:
\begin{cases} 2x+y=0,\\[4pt] 4x+2y=0. \end{cases}]

Passo 3

Agora aplico essa ideia ao vetor dado. Calculo T(1,-2) componente a componente:
primeira componente:
2\cdot 1 + (-2) = 2-2 = 0,
segunda componente:
4\cdot 1 + 2\cdot(-2) = 4-4 = 0.
Portanto
T(1,-2)=(0,0).
Como T(1,-2)=(0,0), pelo critério da dica, (1,-2) pertence a N(T).

Passo 4

Explicação mais geral (útil na prova): observe que a segunda equação do sistema é exatamente o dobro da primeira, porque a segunda linha da matriz é 2 vezes a primeira. Isso significa que só temos uma equação independente:
2x+y=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y=-2x.
Parametrizando por x=t\in\mathbb{R} obtemos todas as soluções:
(x,y)=(t,-2t)=t(1,-2).
Logo o núcleo é a reta gerada por (1,-2):
N(T)=\operatorname{span}\{(1,-2)\}.
Isto diz também que \dim N(T)=1. Na prova, ao ver que as linhas (ou colunas) da matriz são múltiplas, já dá para concluir que o núcleo tem dimensão maior que zero; resolver uma equação dá a descrição completa.

Passo 5

Dica prática final e ânimo: para saber se um vetor está no núcleo, basta multiplicar a matriz pelo vetor e ver se dá o vetor nulo — como fiz no Passo 3. Se precisar listar uma base do núcleo, resolva o sistema e escreva a parametrização (aqui deu N(T)=\{t(1,-2)\}). Vai dar tudo certo — respira e aplica esse passo a passo na prova!

Resposta

(1,-2)\in N(T)

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