Quais das seguintes aplicações de mathbb{R}^{3} em mathbb{R}^{3} são operadores lineares? T(x, y, z)=(x, x, x)
Passo 1
O enunciado fornece uma aplicação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x,x,x).
A pergunta é: essa aplicação é um operador linear (isto é, uma transformação linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3)?
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a definição exata e útil de operador linear. Uma aplicação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
Se ambas as propriedades forem verdadeiras, então T é linear. Outra forma equivalente é verificar que existe uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} tal que T(v)=A v para todo v\in\mathbb{R}^3.
Passo 3
Vamos verificar a propriedade de aditividade. Tome dois vetores arbitrários
u=(x_1,y_1,z_1),\qquad v=(x_2,y_2,z_2).
Calcule T(u+v). Primeiro somamos os vetores:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando T temos
T(u+v)=\bigl(x_1+x_2,\;x_1+x_2,\;x_1+x_2\bigr).
Agora calcule T(u)+T(v). Usando a definição,
T(u)=(x_1,x_1,x_1),\qquad T(v)=(x_2,x_2,x_2).
Somando,
T(u)+T(v)=(x_1+x_2,\;x_1+x_2,\;x_1+x_2).
Como as duas expressões coincidem, concluímos que
T(u+v)=T(u)+T(v).
Passo 4
Agora verificamos a homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Primeiro calcule T(\alpha u). Multiplicando o vetor por \alpha,
\alpha u=(\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z).
Aplicando T,
T(\alpha u)=(\alpha x,\;\alpha x,\;\alpha x).
Por outro lado, \alpha T(u)=\alpha(x,x,x)=(\alpha x,\;\alpha x,\;\alpha x). As duas expressões são iguais, então
T(\alpha u)=\alpha T(u).
Passo 5
Como verificamos explicitamente aditividade e homogeneidade para vetores arbitrários, T satisfaz as duas propriedades necessárias e portanto é linear. Uma forma útil de entender essa transformação é encontrar sua matriz na base canônica. As colunas da matriz são as imagens dos vetores da base canônica:
e para qualquer v=(x,y,z) vale T(v)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}. Observação intuitiva: T projeta qualquer vetor sobre a primeira coordenada e repete esse valor nas três componentes — por isso a transformação tem posto 1.]
Resposta
Sim. É um operador linear. Matriz na base canônica: