22.58 Uma distribuição de cargas esfericamente simétricas, porém não uniformes, possui uma densidade
dada por:
em que
é uma constante positiva, (a) Calcule a carga total contida na distribuição de cargas. (b) Obtenha uma expressão para o campo elétrico na regiāo
. (c) Determine uma expressão para o campo elétrico na região
. (d) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico
em funçīo da distância
. (e) Encontre o ponto
para o qual o campo elétrico atinge seu valor máximo e calcule o valor desse campo elétrico máximo.
Passo 1
O enunciado fornece a densidade volumétrica esfericamente simétrica
e
onde
é constante positiva. As perguntas são:
(a) Calcular a carga total contida na distribuição.
(b) Obter uma expressão para o campo elétrico na região
.
(c) Determinar uma expressão para o campo elétrico na região
.
(d) Fazer um gráfico qualitativo do módulo em função de
.
(e) Encontrar o ponto onde
atinge o máximo e calcular esse valor máximo.
(a) Calcular a carga total
(b) Obter uma expressão para o campo elétrico
(c) Determinar uma expressão para o campo elétrico
(d) Fazer um gráfico qualitativo do módulo
(e) Encontrar o ponto
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicação didática):
- Para uma distribuição esfericamente simétrica, uma casca esférica de raio
e espessura tem volume
Isto vem da área da esfera
multiplicada pela espessura
. Usamos isso para integrar densidades radiais.
- A carga contida numa casca é
. - A Lei de Gauss (forma integral) para campo elétrico com simetria esférica diz que o fluxo elétrico através de uma superfície esférica de raio
é
e a Lei de Gauss afirma
onde
é a carga total dentro do raio
e
é a permissividade do vácuo. Assim, para simetria esférica
Vou aplicar esses passos para calcular
total e
nas duas regiões.
Passo 3
(a) Cálculo da carga total
:
A carga total é a integral de sobre todo o volume da esfera de raio
:
A carga total é a integral de
Substituindo
:
Agora expandimos e integramos termo a termo:
Logo
Simplificando o segundo termo:
Portanto
Interpretação rápida: apesar de
, a dependência radial faz com que a contribuição total se anule — a distribuição tem carga total nula.
Passo 4
(b) Campo para
:
Pela Lei de Gauss, para o campo fora da distribuição é equivalente ao de uma carga puntiforme
no centro:
Pela Lei de Gauss, para
Como calculamos
, obtemos imediatamente
Comentário físico: apesar de haver densidade interna, a soma dá zero, então fora da esfera o campo se anula.
Passo 5
(c) Campo para
(passo a passo):
Precisamos da carga encerrada até um raio arbitrário :
Precisamos da carga encerrada até um raio arbitrário
Substituindo
:
Integramos termo a termo:
Logo
Simplificando o segundo termo:
assim
Usando a Lei de Gauss
obtemos
Cancelando fatores:
Direção: como
para
, o campo é radial para fora.
Passo 6
(d) Forma do gráfico
(descrição qualitativa):
- Para
, é dado por
que é uma parábola em
com
e
. A função cresce a partir de
, atinge um máximo interno e decresce até zero em
.
- Para
, .
Portanto o gráfico de(módulo) versus começa em zero, sobe até um máximo interno, volta a zero em e permanece nulo para . (Gráfico qualitativo: meia parábola entre e , zero depois.)
Passo 7
(e) Localização e valor máximo de
:
Para encontrar o máximo de em
, derivamos
:
Para encontrar o máximo de
Anulando a derivada:
Verificação rápida: segunda derivada é
, logo é máximo. O valor máximo é
Resposta
(a)
(b) para
(c) para
(direção radial para fora)
(d) Gráfico: é uma parábola nula em
e
, atinge um máximo interno, e é zero para
.
(e) ,
.
(b)
(c)
(d) Gráfico:
(e)