22.58 Uma distribuição de cargas esfericamente simétricas, porém não uniformes, possui uma densidade p(r) dada por:
\begin{array}{ll} \rho(r)=\rho_{0}(1-4 r / 3 R) & \text { para } r \leq R \\\ \rho(r)=0 & \text { para } r \geq R \end{array}
em que p_{0} é uma constante positiva, (a) Calcule a carga total contida na distribuição de cargas. (b) Obtenha uma expressão para o campo elétrico na regiāo r \geq R. (c) Determine uma expressão para o campo elétrico na região r \leq R. (d) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico E em funçīo da distância r. (e) Encontre o ponto r para o qual o campo elétrico atinge seu valor máximo e calcule o valor desse campo elétrico máximo.

Passo 1

O enunciado fornece a densidade volumétrica esfericamente simétrica
\rho(r)=\rho_{0}\left(1-\frac{4r}{3R}\right)\quad\text{para}\quad r\le R
e
\rho(r)=0\quad\text{para}\quad r\ge R,
onde \rho_{0} é constante positiva. As perguntas são:
(a) Calcular a carga total Q contida na distribuição.
(b) Obter uma expressão para o campo elétrico E(r) na região r\ge R.
(c) Determinar uma expressão para o campo elétrico E(r) na região r\le R.
(d) Fazer um gráfico qualitativo do módulo E em função de r.
(e) Encontrar o ponto r onde E atinge o máximo e calcular esse valor máximo.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma distribuição esfericamente simétrica, uma casca esférica de raio r e espessura dr tem volume
dV = 4\pi r^{2}\,dr.
Isto vem da área da esfera 4\pi r^{2} multiplicada pela espessura dr. Usamos isso para integrar densidades radiais.
  • A carga contida numa casca é dq=\rho(r)\,dV=\rho(r)\,4\pi r^{2}dr.
  • A Lei de Gauss (forma integral) para campo elétrico com simetria esférica diz que o fluxo elétrico através de uma superfície esférica de raio r é
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,4\pi r^{2},
e a Lei de Gauss afirma
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro do raio r e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Assim, para simetria esférica
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.
Vou aplicar esses passos para calcular Q total e E(r) nas duas regiões.

Passo 3

(a) Cálculo da carga total Q:
A carga total é a integral de \rho(r) sobre todo o volume da esfera de raio R:
Q = \int_{\text{volume}} \rho(r)\,dV = 4\pi \int_{0}^{R} \rho(r)\,r^{2}\,dr.
Substituindo \rho(r)=\rho_{0}\left(1-\dfrac{4r}{3R}\right):
Q = 4\pi \rho_{0} \int_{0}^{R} \left(1-\frac{4r}{3R}\right) r^{2}\,dr.
Agora expandimos e integramos termo a termo:
\int_{0}^{R} r^{2}\,dr = \frac{R^{3}}{3}, \qquad \int_{0}^{R} r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4}.
Logo
Q = 4\pi \rho_{0}\left(\frac{R^{3}}{3} - \frac{4}{3R}\cdot\frac{R^{4}}{4}\right).
Simplificando o segundo termo:
\frac{4}{3R}\cdot\frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{3}}{3}.
Portanto
Q = 4\pi \rho_{0}\left(\frac{R^{3}}{3} - \frac{R^{3}}{3}\right)=0.
Interpretação rápida: apesar de \rho_{0}>0, a dependência radial faz com que a contribuição total se anule — a distribuição tem carga total nula.

Passo 4

(b) Campo para r\ge R:
Pela Lei de Gauss, para r\ge R o campo fora da distribuição é equivalente ao de uma carga puntiforme Q no centro:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}.
Como calculamos Q=0, obtemos imediatamente
E(r)=0\quad\text{para}\quad r\ge R.
Comentário físico: apesar de haver densidade interna, a soma dá zero, então fora da esfera o campo se anula.

Passo 5

(c) Campo para r\le R (passo a passo):
Precisamos da carga encerrada até um raio arbitrário r\le R:
Q_{\text{int}}(r)=4\pi \int_{0}^{r} \rho(r')\,r'^{2}\,dr'.
Substituindo \rho(r')=\rho_{0}\left(1-\dfrac{4r'}{3R}\right):
Q_{\text{int}}(r)=4\pi \rho_{0}\int_{0}^{r}\left(1-\frac{4r'}{3R}\right) r'^{2}\,dr'.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{r} r'^{2}\,dr'=\frac{r^{3}}{3}, \qquad \int_{0}^{r} r'^{3}\,dr'=\frac{r^{4}}{4}.
Logo
Q_{\text{int}}(r)=4\pi \rho_{0}\left(\frac{r^{3}}{3} - \frac{4}{3R}\cdot\frac{r^{4}}{4}\right).
Simplificando o segundo termo:
\frac{4}{3R}\cdot\frac{r^{4}}{4}=\frac{r^{4}}{3R},
assim
Q_{\text{int}}(r)=4\pi \rho_{0}\left(\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{4}}{3R}\right) = \frac{4\pi \rho_{0} r^{3}}{3}\left(1-\frac{r}{R}\right).
Usando a Lei de Gauss E(r)=Q_{\text{int}}(r)/(4\pi\varepsilon_{0} r^{2}) obtemos
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}\cdot \frac{4\pi \rho_{0} r^{3}}{3}\left(1-\frac{r}{R}\right).
Cancelando fatores:
E(r)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,r\left(1-\frac{r}{R}\right)\quad\text{para}\quad 0\le r\le R.
Direção: como Q_{\text{int}}(r)>0 para 0<r<R, o campo é radial para fora.

Passo 6

(d) Forma do gráfico E(r) (descrição qualitativa):
  • Para 0\le r\le R, E(r) é dado por
E(r)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\left(r-\frac{r^{2}}{R}\right),
que é uma parábola em r com E(0)=0 e E(R)=0. A função cresce a partir de r=0, atinge um máximo interno e decresce até zero em r=R.
  • Para r\ge R, E(r)=0.
    Portanto o gráfico de E (módulo) versus r começa em zero, sobe até um máximo interno, volta a zero em r=R e permanece nulo para r>R. (Gráfico qualitativo: meia parábola entre 0 e R, zero depois.)

Passo 7

(e) Localização e valor máximo de E:
Para encontrar o máximo de E(r) em 0<r<R, derivamos E(r):
\frac{dE}{dr}=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{2r}{R}\right).
Anulando a derivada:
1-\frac{2r}{R}=0 \quad\Rightarrow\quad r=\frac{R}{2}.
Verificação rápida: segunda derivada é \dfrac{d^{2}E}{dr^{2}}=-\dfrac{2\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}R}<0, logo é máximo. O valor máximo é
E_{\max}=E\!\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\cdot\frac{R}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right) = \frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\cdot\frac{R}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\rho_{0}R}{12\varepsilon_{0}}.

Resposta

(a) Q=0
(b) E(r)=0 para r\ge R
(c) E(r)=\dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,r\!\left(1-\dfrac{r}{R}\right) para 0\le r\le R (direção radial para fora)
(d) Gráfico: E(r) é uma parábola nula em r=0 e r=R, atinge um máximo interno, e é zero para r\ge R.
(e) r_{\max}=\dfrac{R}{2}, \;E_{\max}=\dfrac{\rho_{0}R}{12\varepsilon_{0}}.

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