(a) Em sistemas elétricos, a corrente impulsiva é muitas vezes representada por uma função delta de Dirac. Descreva um exemplo de circuito em que isso ocorre e indique qual grandeza física é afetada por esse impulso.
(b) Mostre como o uso da função delta simplifica a resolução da equação diferencial associada ao circuito.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) que eu descreva um exemplo de circuito em que a corrente impulsiva é representada pela função delta de Dirac e que eu diga qual grandeza física desse circuito é afetada por esse impulso; (b) que eu mostre, com a equação diferencial do circuito, como o uso da função delta simplifica a resolução (ou seja, como ela aparece na equação e qual é o efeito prático).
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): a modelagem do impulso por \delta é uma idealização de um pulso de corrente muito curto e intenso; espera-se que eu use essa idealização para resolver a equação diferencial do circuito e mostrar o efeito sobre uma grandeza elétrica (por exemplo, tensão ou corrente).

Passo 2

O que é a função delta de Dirac, de modo prático? Vou explicar de um jeito direto e útil para circuitos.
  • A função \delta(t-t_0) é uma “função” que vale zero para todo t\neq t_0 e tem área unitária em torno de t_0: \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)\,dt = 1.
  • Propriedade fundamental (propriedade de peneirar ou sifting): para qualquer função contínua f(t),
\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta(t-t_0)\,dt = f(t_0).
  • Em termos de unidades, se \delta(t) tem dimensão 1/\text{tempo}, então A\delta(t) tem dimensão de A/\text{tempo}, e \displaystyle \int A\delta(t)\,dt = A é a “área” ou quantidade total associada ao impulso.
  • Para modelar uma corrente impulsiva que entrega uma carga total Q num instante t_0, escrevemos i_s(t)=Q\,\delta(t-t_0). A integral dá a carga: \displaystyle \int_{t_0-\epsilon}^{t_0+\epsilon} i_s(t)\,dt = Q.

Passo 3

Escolha de um circuito simples e físico (descrição e motivo):
  • Circuito escolhido: um nodo onde se conectam um resistor R e um capacitor C em paralelo ao terra, e uma fonte de corrente ideal que injeta corrente no nodo. Ou seja, corrente de fonte i_s(t) entra no nodo; daí parte para o resistor e para o capacitor. Esse é o clássico circuito R paralelo com C alimentado por uma fonte de corrente.
  • Esquematicamente: fonte i_s(t) → nodo \to ramo R para o terra e ramo C para o terra.
  • Por que esse circuito? Porque a equação que relaciona corrente e tensão no capacitor é simples e mostra claramente o efeito de um impulso: a tensão no capacitor muda instantaneamente proporcional à carga injetada. Essa é uma razão física: o capacitor armazena carga e a tensão v_C(t) muda com a carga via Q= C v.
  • Exemplo físico que justifica modelar por \delta: descarga eletrostática (ESD) ou um pulso de corrente muito curto vindo de um circuito de comutação — na prática o pulso tem duração finita, mas se for muito menor que as constantes do circuito, usar \delta como idealização economiza trabalho.

Passo 4

Equação diferencial do circuito (escrever e explicar cada termo).
  • Defino a tensão no nodo (tensão do capacitor) como v(t).
  • Leis usadas: lei das correntes em um nodo (KCL): a corrente da fonte entra e se divide em corrente pelo capacitor e pelo resistor. Logo,
i_s(t) = i_C(t) + i_R(t).
  • Relações constitutivas: corrente no capacitor i_C(t)=C\,\dfrac{dv}{dt}. Corrente no resistor i_R(t)=\dfrac{v(t)}{R}. Aqui explico: C é a capacitância (unidade: farad), R é resistência (ohm), v(t) é tensão (volt).
  • Substituindo, obtemos a equação diferencial:
C\,\frac{dv}{dt} + \frac{v(t)}{R} = i_s(t).
  • Agora uso a modelagem impulsiva: suponha que a fonte fornece um impulso de corrente no instante t=0 com carga total Q. Então
i_s(t) = Q\,\delta(t).
(Escolhi t=0 por simplicidade; a derivação funciona para qualquer t_0.)

Passo 5

Como a função delta simplifica: integração local e condição de salto. Vou mostrar passo a passo.
  • A ideia: integrar a equação diferencial num intervalo muito pequeno que contém o instante do impulso, por exemplo de t=-\varepsilon até t=+\varepsilon, e depois fazer \varepsilon\to 0^+. Integramos
\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} \left( C\,\frac{dv}{dt} + \frac{v(t)}{R} \right) dt = \int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} Q\,\delta(t)\,dt.
  • Avaliando o lado direito usando a propriedade do delta:
\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} Q\,\delta(t)\,dt = Q,
desde que \varepsilon>0. Esse é o grande truque: o impulso integra exatamente para Q.
  • O primeiro termo do lado esquerdo:
\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} C\,\frac{dv}{dt}\,dt = C\bigl[v(+\varepsilon)-v(-\varepsilon)\bigr] = C\bigl[v(0^+)-v(0^-)\bigr],
onde v(0^-) é a tensão imediatamente antes do pulso e v(0^+) imediatamente depois.
  • O segundo termo do lado esquerdo é
\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} \frac{v(t)}{R}\,dt.
Como v(t) é finita (não singular) e o intervalo tem comprimento 2\varepsilon, esse integral tende a zero quando \varepsilon\to 0: formalmente, \left|\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} \frac{v(t)}{R}\,dt\right| \le \frac{M}{R}\,2\varepsilon \to 0 para algum bound M de v(t) no entorno de 0. Portanto esse termo desaparece no limite.
  • Assim, fazendo \varepsilon\to 0, restamos com
C\bigl[v(0^+)-v(0^-)\bigr] = Q.
  • Essa é a consequência prática imediata: o impulso de corrente que injeta carga Q produz um salto instantâneo na tensão do capacitor dado por
v(0^+)=v(0^-)+\frac{Q}{C}.
Explicação física: o capacitor recebeu carga Q instantaneamente, e como Q=Cv, sua tensão aumentou em Q/C.

Passo 6

Resolução da equação para t>0 (após o impulso) usando a condição inicial modificada. Isso mostra de que forma a delta simplificou o problema.
  • Para t>0 assumimos que não há mais fonte (o impulso foi apenas no instante 0), então a equação homogênea para t>0 é
C\,\frac{dv}{dt} + \frac{v(t)}{R} = 0.
  • Explico: agora é uma equação diferencial linear de primeira ordem homogênea, que se resolve como nas tabelas básicas. A constante de tempo do circuito é \tau = R C. A solução geral da equação é
v(t) = v(0^+)\,e^{-t/(RC)},\qquad t>0,
onde v(0^+) é a condição inicial que já encontramos acima.
  • Substituindo a expressão do salto,
v(t) = \left(v(0^-)+\frac{Q}{C}\right)\,e^{-t/(RC)},\qquad t>0.
  • Comentário sobre o ganho prático: sem usar a propriedade do delta, teríamos que modelar um pulso de corrente de altura muito grande e duração muito curta, resolver a ODE com essa função de entrada e depois tomar limite — procedimento mais trabalhoso. Com a idealização \delta conseguimos transformar o pulso em uma condição inicial modificada (um salto em v), o que é muito mais simples na prática.

Passo 7

Breve observação alternativa com transformada de Laplace (opcional, para ver outra maneira de simplificação).
  • Se preferir trabalhar no domínio de Laplace, a transformada da fonte Q\delta(t) é simplesmente Q. Tomando Laplace da equação com condição inicial v(0^-), obtemos
C\bigl(sV(s)-v(0^-)\bigr) + \frac{1}{R}V(s) = Q.
  • Resolvendo para V(s),
V(s) = \frac{C v(0^-) + Q}{C s + 1/R} = \frac{v(0^-)+Q/C}{s + 1/(RC)}.
  • Invertendo a transformada dá exatamente
v(t) = \left(v(0^-)+\frac{Q}{C}\right)e^{-t/(RC)},\qquad t>0.
  • Observação: a presença do Q no numerador mostra que o impulso aparece como incremento da condição inicial — o que torna a resolução direta.

Passo 8

Resumo e incentivo final (curto): a função delta permite modelar pulsos muito curtos como uma injeção instantânea de carga. No circuito R paralelo C com uma fonte de corrente impulsiva, o uso do delta transforma o problema em duas etapas simples: (i) aplicar a condição de salto C[v(0^+)-v(0^-)]=Q; (ii) resolver a ODE homogênea com a nova condição inicial. Isso evita ter de lidar com pulsos de duração finita e facilita bastante a resolução na prova. Força aí — com esse passo a passo esse tipo de questão vira rotina!

Resposta

(a) Um exemplo: circuito com uma fonte de corrente ideal i_s(t) injetando no nodo onde estão em paralelo o resistor R e o capacitor C. Se i_s(t)=Q\,\delta(t), o impulso afeta a tensão do capacitor v(t), que sofre um salto instantâneo.
(b) Integrando a equação
C\frac{dv}{dt}+\frac{v(t)}{R}=Q\,\delta(t)
em torno de t=0 obtemos a condição de salto
v(0^+)=v(0^-)+\frac{Q}{C},
e para t>0 (sem mais fontes) a solução é
v(t)=\left(v(0^-)+\frac{Q}{C}\right)e^{-t/(RC)}.

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