Em um sistema oscilatório com uma força de atrito temos:
onde
é a constante da mola e
é a constante de amortecimento. Logo, a equação de movimento fica:
Considere o oscilador como estando no regime subcrítico e resolva a equação diferencial para as condições iniciais
e
.
R:
.
R:
Passo 1
O que o problema pede: encontrar a solução
da equação de movimento
no regime subcrítico, i.e., quando a solução é oscilatória amortecida. Condições iniciais dadas:
e
, onde
. Dados relevantes fornecidos:
(massa),
(constante de amortecimento),
(constante da mola). A resposta esperada é uma função do tempo que mostra decaimento exponencial multiplicando uma oscilação senoidal.
Passo 2
Vamos transformar a equação num formato padrão e achar as raízes da equação característica. Dividindo a equação por
obtemos
Assumimos uma solução teste exponencial
. Substituindo na equação obtemos a equação característica
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara (ou fórmula quadrática):
Passo 3
No regime subcrítico a parte dentro da raiz é negativa:
Definimos então a frequência angular amortecida
por
que é um número real e positivo nesse caso. As raízes ficam
Quando as raízes são complexas conjugadas, a solução real geral da EDO homogênea é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. (Breve explicação: isso vem de escrever
e tomar a combinação linear real.)
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais para achar
e
.
Primeiro avaliamos
. Usando a solução geral:
Como
, concluímos
Agora precisamos de
. Calculamos a derivada aplicando a regra do produto e as derivadas de seno e cosseno:
Fazendo a derivação passo a passo:
Podemos factorar
se quisermos. Agora avaliamos em
:
Como
, isso reduz para
A condição inicial é
, logo
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
com
Observação amigável: a solução é uma oscilação senoidal com frequência reduzida
(comparada à frequência natural
), multiplicada por um decaimento exponencial
que representa o amortecimento.