Em um sistema oscilatório com uma força de atrito temos:
F_{m o l a}+F_{a t r i t o}=-k x-\rho \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t},
onde k é a constante da mola e \rho é a constante de amortecimento. Logo, a equação de movimento fica:
M \frac{\mathrm{~d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}+\rho \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}+k x=0
Considere o oscilador como estando no regime subcrítico e resolva a equação diferencial para as condições iniciais x(0)=0 e v(0)=v_{0}.
R: x(t)=\frac{v_{0}}{\omega} \mathrm{e}^{-\frac{\rho t}{2 M}} \operatorname{sen}(\omega t), \operatorname{com} \omega=\sqrt{\frac{k}{M}-\frac{\rho^{2}}{4 M^{2}}}.

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a solução x(t) da equação de movimento
M \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}}+\rho \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}+k x=0
no regime subcrítico, i.e., quando a solução é oscilatória amortecida. Condições iniciais dadas: x(0)=0 e v(0)=v_{0}, onde v(t)=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}. Dados relevantes fornecidos: M (massa), \rho (constante de amortecimento), k (constante da mola). A resposta esperada é uma função do tempo que mostra decaimento exponencial multiplicando uma oscilação senoidal.

Passo 2

Vamos transformar a equação num formato padrão e achar as raízes da equação característica. Dividindo a equação por M obtemos
\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}}+\frac{\rho}{M}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}+\frac{k}{M}x=0.
Assumimos uma solução teste exponencial x(t)=\mathrm{e}^{r t}. Substituindo na equação obtemos a equação característica
r^{2}+\frac{\rho}{M}r+\frac{k}{M}=0.
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara (ou fórmula quadrática):
r = -\frac{\rho}{2M}\pm\sqrt{\left(\frac{\rho}{2M}\right)^{2}-\frac{k}{M}}.

Passo 3

No regime subcrítico a parte dentro da raiz é negativa:
\left(\frac{\rho}{2M}\right)^{2}-\frac{k}{M}<0.
Definimos então a frequência angular amortecida \omega por
\omega=\sqrt{\frac{k}{M}-\frac{\rho^{2}}{4M^{2}}}
que é um número real e positivo nesse caso. As raízes ficam
r=-\frac{\rho}{2M}\pm \mathrm{i}\,\omega.
Quando as raízes são complexas conjugadas, a solução real geral da EDO homogênea é
x(t)=\mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2M}t}\Big(C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\Big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. (Breve explicação: isso vem de escrever \mathrm{e}^{(-\rho/(2M)\pm i\omega)t}= \mathrm{e}^{-\rho t/(2M)}(\cos\omega t \pm i\sin\omega t) e tomar a combinação linear real.)

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais para achar C_{1} e C_{2}.
Primeiro avaliamos x(0). Usando a solução geral:
x(0)=\mathrm{e}^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)=C_{1}.
Como x(0)=0, concluímos
C_{1}=0.
Agora precisamos de x'(t)=v(t). Calculamos a derivada aplicando a regra do produto e as derivadas de seno e cosseno:
x'(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2M}t}\big(C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\big)\right].
Fazendo a derivação passo a passo:
x'(t)=\mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2M}t}\left(-\frac{\rho}{2M}\right)\big(C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\big) +\mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2M}t}\big(-C_{1}\omega\sin(\omega t)+C_{2}\omega\cos(\omega t)\big).
Podemos factorar \mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2M}t} se quisermos. Agora avaliamos em t=0:
x'(0)=\left(-\frac{\rho}{2M}\right)(C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0)+(-C_{1}\omega\cdot 0 + C_{2}\omega\cdot 1).
Como C_{1}=0, isso reduz para
x'(0)=C_{2}\,\omega.
A condição inicial é x'(0)=v_{0}, logo
C_{2}=\frac{v_{0}}{\omega}.

Passo 5

Substituindo C_{1}=0 e C_{2}=\dfrac{v_{0}}{\omega} na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
x(t)=\mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2M}t}\left(0\cdot\cos(\omega t)+\frac{v_{0}}{\omega}\sin(\omega t)\right) =\frac{v_{0}}{\omega}\,\mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2M}t}\sin(\omega t),
com
\omega=\sqrt{\frac{k}{M}-\frac{\rho^{2}}{4M^{2}}}.
Observação amigável: a solução é uma oscilação senoidal com frequência reduzida \omega (comparada à frequência natural \sqrt{k/M}), multiplicada por um decaimento exponencial \mathrm{e}^{-\rho t/(2M)} que representa o amortecimento.

Resposta

x(t)=\frac{v_{0}}{\omega}\,\mathrm{e}^{-\frac{\rho t}{2M}}\sin(\omega t)
\omega=\sqrt{\frac{k}{M}-\frac{\rho^{2}}{4M^{2}}}

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