5.22 (a) Um aro circular uniforme repousa sobre uma superfície horizontal livre. Se ele é golpeado tangencialmente em um ponto da periferia, em torno de qual ponto ele começa a girar? (b) Ache a altura em que uma bola de bilhar deve ser golpeada para que role sem deslizar.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) temos um aro circular de massa m e raio R apoiado sem atrito sobre uma superfície horizontal. Ele recebe um golpe tangencial num ponto da periferia e queremos saber qual é o ponto instantâneo em torno do qual ele passa a girar. Na parte (b) temos uma bola de bilhar (esfera uniforme de raio R e massa m) apoiada sobre uma mesa e queremos achar a altura acima da mesa em que deve ser golpeada, de modo que após o golpe ela entre em rolamento puro (isto é, sem deslizar). Para resolver ambas usamos a teoria de momento de inércia e impulso: o impulso tangencial gera simultaneamente velocidade de translação do centro de massa e rotação em torno do centro, e impomos a condição de rolamento puro v=\omega R.

Passo 2

(a) Seja J o impulso tangencial aplicado no aro. Como não há atrito na superfície, esse é o único impulso horizontal.
A variação de quantidade de movimento do centro de massa é
m\,v = J \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{J}{m}.
O momento de inércia de um aro em relação ao seu centro é
I = mR^2,
e o impulso também gera momento angular
I\,\omega = J\,R \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{J\,R}{I} = \frac{J}{mR}.
Como v = J/m e \omega = J/(mR), segue
v = \omega\,R.
Isto é exatamente a condição de rolamento sem deslizamento em torno do ponto de contato com a superfície. Logo, o aro gira instantaneamente em torno do ponto de contato com o solo.

Passo 3

(b) Agora consideramos a esfera uniforme. Aplicamos um impulso tangencial J num ponto a uma altura h acima do centro da bola. Novamente, como o único impulso horizontal é J, temos
m\,v = J \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{J}{m}.
O momento de inércia da esfera em relação ao centro é
I = \frac{2}{5}\,m\,R^2,
e o impulso gera momento angular
I\,\omega = J\,h \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{J\,h}{I} = \frac{J\,h}{\frac{2}{5}mR^2} = \frac{5J\,h}{2m\,R^2}.
Para rolamento puro é necessário
v = \omega\,R \;\Longrightarrow\; \frac{J}{m} = \frac{5J\,h}{2m\,R^2}\,R \;\Longrightarrow\; 1 = \frac{5h}{2R} \;\Longrightarrow\; h = \frac{2}{5}\,R.

Passo 4

O valor h=\tfrac{2}{5}R é medido a partir do centro da bola. Como o centro da bola está a uma altura R acima da mesa, a altura acima da mesa em que devemos golpear é
H = R + h = R + \frac{2}{5}R = \frac{7}{5}\,R.

Resposta

(a) O giro ocorre instantaneamente em torno do ponto de contato do aro com a superfície.
(b) A bola deve ser golpeada a uma altura
H = \frac{7}{5}\,R
acima da mesa, para que inicie rolamento sem deslizar.

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