5.22 (a) Um aro circular uniforme repousa sobre uma superfície horizontal livre. Se ele é golpeado tangencialmente em um ponto da periferia, em torno de qual ponto ele começa a girar? (b) Ache a altura em que uma bola de bilhar deve ser golpeada para que role sem deslizar.
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (a) temos um aro circular de massa
e raio
apoiado sem atrito sobre uma superfície horizontal. Ele recebe um golpe tangencial num ponto da periferia e queremos saber qual é o ponto instantâneo em torno do qual ele passa a girar. Na parte (b) temos uma bola de bilhar (esfera uniforme de raio
e massa
) apoiada sobre uma mesa e queremos achar a altura acima da mesa em que deve ser golpeada, de modo que após o golpe ela entre em rolamento puro (isto é, sem deslizar). Para resolver ambas usamos a teoria de momento de inércia e impulso: o impulso tangencial gera simultaneamente velocidade de translação do centro de massa e rotação em torno do centro, e impomos a condição de rolamento puro
.
Passo 2
(a) Seja
o impulso tangencial aplicado no aro. Como não há atrito na superfície, esse é o único impulso horizontal.
A variação de quantidade de movimento do centro de massa é
A variação de quantidade de movimento do centro de massa é
O momento de inércia de um aro em relação ao seu centro é
e o impulso também gera momento angular
Como
e
, segue
Isto é exatamente a condição de rolamento sem deslizamento em torno do ponto de contato com a superfície. Logo, o aro gira instantaneamente em torno do ponto de contato com o solo.
Passo 3
(b) Agora consideramos a esfera uniforme. Aplicamos um impulso tangencial
num ponto a uma altura
acima do centro da bola. Novamente, como o único impulso horizontal é
, temos
O momento de inércia da esfera em relação ao centro é
e o impulso gera momento angular
Para rolamento puro é necessário
Passo 4
O valor
é medido a partir do centro da bola. Como o centro da bola está a uma altura
acima da mesa, a altura acima da mesa em que devemos golpear é
Resposta
(a) O giro ocorre instantaneamente em torno do ponto de contato do aro com a superfície.
(b) A bola deve ser golpeada a uma altura
(b) A bola deve ser golpeada a uma altura
acima da mesa, para que inicie rolamento sem deslizar.