5.22 (a) Um aro circular uniforme repousa sobre uma superfície horizontal livre. Se ele é golpeado tangencialmente em um ponto da periferia, em torno de qual ponto ele começa a girar? (b) Ache a altura em que uma bola de bilhar deve ser golpeada para que role sem deslizar.

Passo 1

O enunciado tem duas partes.
Na parte (a) temos um aro circular fino de massa M e raio R, apoiado sobre uma superfície horizontal sem atrito, que recebe um impulso tangencial de módulo J numa de suas extremidades. Queremos saber em torno de que ponto ele começa a girar imediatamente após o golpe.
Na parte (b) temos uma bola homogênea de massa M e raio R em repouso sobre uma mesa, que é golpeada horizontalmente num ponto a uma altura h acima da mesa. Queremos escolher h de modo que, depois do impulso, a bola transloque com velocidade v e gire com velocidade angular \omega tal que role sem deslizar, isto é, satisfaça
v = \omega\,R.

Passo 2

Para a parte (a) usamos conservação do impulso linear e do impulso angular em relação ao centro de massa. O impulso tangencial J confere
J = M\,v_{\rm cm}
ao centro de massa e, tomando momentos em relação ao centro de massa, gera um impulso de momento
J\,R = I\,\omega,
onde I é o momento de inércia do aro em relação ao seu centro. Como é um aro fino,
I = M\,R^2.

Passo 3

Dividindo as duas fórmulas achamos a relação entre velocidade de translação e rotação:
\frac{v_{\rm cm}}{\omega} = \frac{I}{M\,R} = \frac{M\,R^2}{M\,R} = R.
Isto significa que o ponto de velocidade zero (centro instantâneo de rotação) está a uma distância v_{\rm cm}/\omega=R do centro de massa, ou seja, coincide com o ponto da periferia diametralmente oposto ao ponto de impacto.

Passo 4

Na parte (b) procedemos de modo análogo. O impulso J dá ao centro de massa
J = M\,v_{\rm cm}
e, em relação ao centro de massa, gera um impulso de momento
J\,h = I\,\omega.
Para rolar sem deslizar precisamos de
v_{\rm cm} = \omega\,R.
Substituindo v_{\rm cm}=J/M e \omega=J\,h/I obtemos
\frac{J}{M} = \frac{J\,h}{I}\;R \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{I}{M\,R}.
Para uma esfera homogênea
I = \frac{2}{5}\,M\,R^2
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h = \frac{\tfrac{2}{5}M\,R^2}{M\,R} = \frac{2}{5}\,R.
Esse h é a distância abaixo do centro de massa. Como o centro está a R acima da mesa, o ponto de impacto fica a
R - \frac{2}{5}R = \frac{3}{5}R
acima da superfície da mesa.

Resposta

(a) O aro gira instantaneamente em torno do ponto da periferia diametralmente oposto ao ponto de impacto.
(b) Deve-se golpear a bola a uma altura \tfrac{3}{5}R acima da mesa.

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