5.22 (a) Um aro circular uniforme repousa sobre uma superfície horizontal livre. Se ele é golpeado tangencialmente em um ponto da periferia, em torno de qual ponto ele começa a girar? (b) Ache a altura em que uma bola de bilhar deve ser golpeada para que role sem deslizar.
Passo 1
O enunciado tem duas partes.
Na parte (a) temos um aro circular fino de massa e raio
, apoiado sobre uma superfície horizontal sem atrito, que recebe um impulso tangencial de módulo
numa de suas extremidades. Queremos saber em torno de que ponto ele começa a girar imediatamente após o golpe.
Na parte (b) temos uma bola homogênea de massa e raio
em repouso sobre uma mesa, que é golpeada horizontalmente num ponto a uma altura
acima da mesa. Queremos escolher
de modo que, depois do impulso, a bola transloque com velocidade
e gire com velocidade angular
tal que role sem deslizar, isto é, satisfaça
Na parte (a) temos um aro circular fino de massa
Na parte (b) temos uma bola homogênea de massa
Passo 2
Para a parte (a) usamos conservação do impulso linear e do impulso angular em relação ao centro de massa. O impulso tangencial
confere
ao centro de massa e, tomando momentos em relação ao centro de massa, gera um impulso de momento
onde
é o momento de inércia do aro em relação ao seu centro. Como é um aro fino,
Passo 3
Dividindo as duas fórmulas achamos a relação entre velocidade de translação e rotação:
Isto significa que o ponto de velocidade zero (centro instantâneo de rotação) está a uma distância
do centro de massa, ou seja, coincide com o ponto da periferia diametralmente oposto ao ponto de impacto.
Passo 4
Na parte (b) procedemos de modo análogo. O impulso
dá ao centro de massa
e, em relação ao centro de massa, gera um impulso de momento
Para rolar sem deslizar precisamos de
Substituindo
e
obtemos
Para uma esfera homogênea
logo
Esse
é a distância abaixo do centro de massa. Como o centro está a
acima da mesa, o ponto de impacto fica a
acima da superfície da mesa.
Resposta
(a) O aro gira instantaneamente em torno do ponto da periferia diametralmente oposto ao ponto de impacto.
(b) Deve-se golpear a bola a uma altura acima da mesa.
(b) Deve-se golpear a bola a uma altura