5.4 Ache o momento de inércia da esfera do exercício 5.2 em relação ao eixo que passa pelos centros da esfera e da cavidade.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma esfera maciça de raio R e densidade uniforme \rho, da qual foi retirado (cavidade) uma esfera de raio r cujo centro está sobre o mesmo eixo que passa pelo centro da esfera original. Pedem o momento de inércia desse corpo “esfera com cavidade” em relação ao eixo que passa pelos centros da esfera grande e da cavidade. O conteúdo é “momentos de inércia por superposição” e usaremos: momento de inércia de uma esfera maciça em torno de um diâmetro e o princípio da superposição (corpo cheio menos corpo removido).

Passo 2

Definimos as massas:
– massa da esfera completa (antes da cavidade)
m_s = \rho \,\frac{4}{3}\pi R^3.
– massa da esfera removida (a cavidade)
m_c = \rho \,\frac{4}{3}\pi r^3.

Passo 3

Momento de inércia da esfera maciça de massa m_s e raio R em torno de um diâmetro:
I_s = \frac{2}{5}\,m_s\,R^2.

Passo 4

Momento de inércia da esfera maciça de massa m_c e raio r em torno de um diâmetro (seria a cavidade, medida em seu próprio centro):
I_c = \frac{2}{5}\,m_c\,r^2.

Passo 5

Pelo princípio da superposição, o momento de inércia do conjunto “esfera com cavidade” em torno do eixo que passa pelos centros é
I = I_s - I_c = \frac{2}{5}\bigl(m_s\,R^2 - m_c\,r^2\bigr).

Passo 6

Substituindo m_s e m_c em termos de \rho:
I = \frac{2}{5}\,\rho\biggl(\frac{4}{3}\pi R^3\biggr)R^2 - \frac{2}{5}\,\rho\biggl(\frac{4}{3}\pi r^3\biggr)r^2 = \frac{8\pi\rho}{15}\bigl(R^5 - r^5\bigr).

Passo 7

Em termos da massa total do corpo resultante
M = m_s - m_c = \rho\,\frac{4}{3}\pi\bigl(R^3 - r^3\bigr),
podemos escrever
I = \frac{2}{5}\,M\,\frac{R^5 - r^5}{R^3 - r^3}.

Resposta

\boxed{I = \frac{2}{5}\bigl(m_s\,R^2 - m_c\,r^2\bigr) = \frac{8\pi\rho}{15}\bigl(R^5 - r^5\bigr) = \frac{2}{5}\,M\,\frac{R^5 - r^5}{R^3 - r^3}.}

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