5.4 Ache o momento de inércia da esfera do exercício 5.2 em relação ao eixo que passa pelos centros da esfera e da cavidade.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma esfera maciça de raio
e densidade uniforme
, da qual foi retirado (cavidade) uma esfera de raio
cujo centro está sobre o mesmo eixo que passa pelo centro da esfera original. Pedem o momento de inércia desse corpo “esfera com cavidade” em relação ao eixo que passa pelos centros da esfera grande e da cavidade. O conteúdo é “momentos de inércia por superposição” e usaremos: momento de inércia de uma esfera maciça em torno de um diâmetro e o princípio da superposição (corpo cheio menos corpo removido).
Passo 2
Definimos as massas:
– massa da esfera completa (antes da cavidade)
– massa da esfera completa (antes da cavidade)
– massa da esfera removida (a cavidade)
Passo 3
Momento de inércia da esfera maciça de massa
e raio
em torno de um diâmetro:
Passo 4
Momento de inércia da esfera maciça de massa
e raio
em torno de um diâmetro (seria a cavidade, medida em seu próprio centro):
Passo 5
Pelo princípio da superposição, o momento de inércia do conjunto “esfera com cavidade” em torno do eixo que passa pelos centros é
Passo 6
Substituindo
e
em termos de
:
Passo 7
Em termos da massa total do corpo resultante
podemos escrever