3.22 Com base no conteúdo das Seções 3.2 a 3.4, gere uma célula unitária tridimensional para 0 composto intermetálico AuCu dadas as seguintes condições: 1) a célula unitária é cúbica e suas arestas têm comprimento de 0,374 nm, 2 ) os átomos de ouro estão localizados em todos os vértices do cubo e 3) os átomos de cobre estão localizados nos centros de todas as faces das células unitárias.

Passo 1

Beleza, a questão pede para montarmos a célula unitária de um composto intermetálico AuCu usando cristalografia básica (capítulos 3.2–3.4). A célula é cúbica com aresta
a=0,374;nm,
os átomos de ouro (Au) ficam em todos os vértices do cubo e os átomos de cobre (Cu) ficam nos centros das faces.
Para resolver isso, vamos precisar de:
• Conceito de rede cúbica e vetores de rede.
• Coordenadas fracionárias para posicionar átomos no interior da célula.
• Conversão de coordenadas fracionárias para cartesianas (multiplicar pela aresta).

Passo 2

Definindo os vetores de rede da célula cúbica:
vec a=(a,0,0), vec b=(0,a,0), vec c=(0,0,a),com a=0,374;nm
Em cristalografia, a gente posiciona os átomos em coordenadas fracionárias (x,y,z), que depois viram coordenadas cartesianas (x,a,;y,a,;z,a).

Passo 3

Teoria rápida de coordenadas fracionárias:
– Se um átomo está na posição (x,y,z) em fração de cada vetor de rede, a posição cartesiana dele é
(x,a,;y,a,;z,a),
– Átomos em vértices têm coordenadas como (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) etc.
– Átomos em centros de face ficam em (tfrac12,tfrac12,0),(tfrac12,0,tfrac12),(0,tfrac12,tfrac12) e suas imagens com 1 em alguma coordenada.

Passo 4

Posições dos átomos de Au (nos 8 vértices):
Em coordenadas fracionárias, são:
(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1).
Convertendo, por exemplo (0,0,0) vira (0,0,0) nm e (1,1,1) vira (0.374,0.374,0.374) nm.

Passo 5

Posições dos átomos de Cu (nos 6 centros de face):
Em fracionárias:
(\tfrac12,\tfrac12,0), (\tfrac12,\tfrac12,1),
(\tfrac12,0,\tfrac12), (\tfrac12,1,\tfrac12),
(0,\tfrac12,\tfrac12), (1,\tfrac12,\tfrac12).
Por exemplo, (\tfrac12,\tfrac12,0) ⇒ (0.187,0.187,0) nm;
(\tfrac12,0,\tfrac12) ⇒ (0.187,0,0.187) nm; etc.

Resposta

Célula unitária cúbica de AuCu com vec a=(0,374,0,0),nm,; vec b=(0,0,374,0),nm,; vec c=(0,0,0,374),nm  nm:
Vetores de rede
(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)
Posições atômicas (fracionárias)
– Au (vértices, 8 posições):
l(tfrac12,tfrac12,0r),,l(tfrac12,tfrac12,1r),, l(tfrac12,0,tfrac12r),,l(tfrac12,1,tfrac12r),, l(0,tfrac12,tfrac12r),,l(1,tfrac12,tfrac12r)
– Cu (centros de face, 6 posições):
Convertendo cada fração em coordenada cartesiana (multiplicando por 0,374 nm) obtém-se a rede tridimensional completa do AuCu.

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