5-22 Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
G(x, y)=tg^-1((x+y)^-2)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando (x,y)→(0,0) da função G(x,y)=tg⁻¹((x+y)⁻²). Estamos em Multivariáveis, usando limites de soma e limites de funções compostas (potência e arctan).

Passo 2

Como (x,y)→(0,0), temos x→0 e y→0, logo a soma x+y→0. Assim, para pontos onde x+y≠0, o termo (x+y)⁻² cresce sem bound, isto é, tende a +∞.

Passo 3

Sabemos da teoria de limites de funções elementares que, quando t→+∞, tg⁻¹(t)→π/2.

Passo 4

Compondo esses resultados, temos (x+y)⁻²→+∞→tg⁻¹((x+y)⁻²)→π/2, de modo que o limite de G(x,y) é π/2.

Resposta

lim(x,y)to(0,0)tg^-1l((x+y)^-2r)=pi2.

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