5-22 Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando (x,y)→(0,0) da função G(x,y)=tg⁻¹((x+y)⁻²). Estamos em Multivariáveis, usando limites de soma e limites de funções compostas (potência e arctan).
Passo 2
Como (x,y)→(0,0), temos x→0 e y→0, logo a soma x+y→0. Assim, para pontos onde x+y≠0, o termo (x+y)⁻² cresce sem bound, isto é, tende a +∞.
Passo 3
Sabemos da teoria de limites de funções elementares que, quando t→+∞, tg⁻¹(t)→π/2.
Passo 4
Compondo esses resultados, temos (x+y)⁻²→+∞→tg⁻¹((x+y)⁻²)→π/2, de modo que o limite de G(x,y) é π/2.