Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule d zd t e d wd t : z=ln (x)+ln (y)+x y, x=e^t, y=e^-t

Passo 1

O enunciado dá a função z em termos de x e y: z = ln(x) + ln(y) + x y, com x = e^{t} e y = e^{-t}. Queremos calcular dz/dt e dw/dt, mas w não foi definida no enunciado. Então vamos só fazer dz/dt usando a regra da cadeia: dz/dt = z_{x}·dx/dt + z_{y}·dy/dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z: z_{x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\ln(x)+\ln(y)+xy\bigr) = \frac{1}{x} + y, z_{y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\ln(x)+\ln(y)+xy\bigr) = \frac{1}{y} + x.

Passo 3

Calculamos dx/dt e dy/dt a partir de x = e^{t} e y = e^{-t}:
dx/dt = e^t, dy/dt = -e^-t

Passo 4

Agora juntamos tudo em dz/dt:
dz/dt = l(1x+yr),dx/dt + l(1y+xr),dy/dt

Passo 5

Substituindo x = e^{t} e y = e^{-t}:
1x+y = e^-t+e^-t=2e^-t, 1y+x = e^t+e^t=2e^t, e colocando dx/dt = e^{t}, dy/dt = -e^{-t}, temos:
dz/dt = 2e^-tcdot e^t + 2e^tcdot(-e^-t) = 2 - 2 = 0

Passo 6

Concluindo que dz/dt = 0. Como w não foi definida, não é possível calcular dw/dt.

Resposta

dz/dt = 0; dw/dt não pode ser determinado pois w não está definida.

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