Usando a regra da cadeia para
e
, calcule
:
,
Passo 1
O enunciado dá a função z em termos de x e y: z = ln(x) + ln(y) + x y, com x = e^{t} e y = e^{-t}. Queremos calcular dz/dt e dw/dt, mas w não foi definida no enunciado. Então vamos só fazer dz/dt usando a regra da cadeia: dz/dt = z_{x}·dx/dt + z_{y}·dy/dt.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de z: z_{x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\ln(x)+\ln(y)+xy\bigr) = \frac{1}{x} + y, z_{y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\ln(x)+\ln(y)+xy\bigr) = \frac{1}{y} + x.
Passo 3
Calculamos dx/dt e dy/dt a partir de x = e^{t} e y = e^{-t}:
Passo 4
Agora juntamos tudo em dz/dt:
Passo 5
Substituindo x = e^{t} e y = e^{-t}:
Passo 6
Concluindo que dz/dt = 0. Como w não foi definida, não é possível calcular dw/dt.
Resposta
dz/dt = 0; dw/dt não pode ser determinado pois w não está definida.