5-22 Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
H(x, y)=e^x+e^ye^x y-1

Passo 1

Queremos determinar o limite de H(x,y)=dfrace^x+e^ye^xy-1 quando (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é limite em duas variáveis e vamos usar séries de Taylor de primeira ordem para funções exponenciais.

Passo 2

Expandimos as exponenciais em torno de zero:
e^x = 1 + x + o(x),
e^y = 1 + y + o(y),
e^xy = 1 + xy + o(xy)
Logo o numerador e o denominador ficam:
e^x + e^y = 2 + x + y + o(x) + o(y),
e^xy-1 = xy + o(xy)

Passo 3

Podemos então escrever
H(x,y) = 2 + x + y + o(x) + o(y)xy + o(xy)
Para (x,y) pequenos o termo dominante é
H(x,y) sim 2xy

Passo 4

Vamos testar dois caminhos importantes:
  1. Na reta y = x:
H(x,x) sim 2x^2 to +infty (xto0^+)
  1. Na reta y = -x:
H(x,-x) sim 2-x^2 = -2x^2 to -infty

Passo 5

Como ao longo de diferentes caminhos o valor diverge com sinais opostos, concluímos que não há limite único em (0,0).

Resposta

O limite não existe.

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