5-22 Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Queremos determinar o limite de
quando
. O conteúdo aqui é limite em duas variáveis e vamos usar séries de Taylor de primeira ordem para funções exponenciais.
Passo 2
Expandimos as exponenciais em torno de zero:
Logo o numerador e o denominador ficam:
Passo 3
Podemos então escrever
Para
pequenos o termo dominante é
Passo 4
Vamos testar dois caminhos importantes:
- Na reta
:
- Na reta
:
Passo 5
Como ao longo de diferentes caminhos o valor diverge com sinais opostos, concluímos que não há limite único em
.
Resposta
O limite não existe.