(1.22) Duas grandes placas paralelas com condições de superfície que as assemelham a um corpo negro são mantidas a uma temperatura de 816^{\circ} \mathrm{C} e 260^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Determine o fluxo de transferência de calor por radiação entre as placas em kW / \mathrm{m}^{2} e o coeficiente de transferência de calor por radiação \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}.K.

Passo 1

O enunciado dá duas placas paralelas grandes com condições de superfície de corpo negro (ou seja, emissividade igual a 1) mantidas a temperaturas diferentes e pede duas coisas:
  • o fluxo de transferência de calor por radiação entre as placas, em \mathrm{kW/m^{2}};
  • o coeficiente de transferência de calor por radiação, em \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Dados fornecidos:
  • Temperatura da placa quente: t_1 = 816^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura da placa fria: t_2 = 260^{\circ}\mathrm{C}.
O que precisamos calcular a partir desses dados:
  • o fluxo radiativo líquido por unidade de área q (positivo saindo da placa quente),
  • o coeficiente linearizado de troca por radiação h_{r}, definido aqui como h_{r}=q/(T_1-T_2), usando temperaturas absolutas.

Passo 2

Converter temperaturas de Celsius para Kelvin (obrigatório para leis radiativas):
T = t + 273{,}15.
Logo,
T_1 = 816 + 273{,}15 = 1089{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 260 + 273{,}15 = 533{,}15\\ \mathrm{K}.
Explicação da lei que vamos usar (aula rápida): para superfícies negras (corpo negro) paralelas e grandes, o fluxo radiativo líquido por unidade de área é dado exatamente por
q = \sigma\bigl(T_1^4 - T_2^4\bigr),
onde
  • q é o fluxo de calor radiativo líquido, em \mathrm{W/m^{2}};
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, cujo valor é \sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}};
  • T_1 e T_2 são as temperaturas absolutas em Kelvin.

Passo 3

Para calcular T_1^4 - T_2^4 de modo conveniente, usamos a fatoração
T_1^4 - T_2^4 = (T_1-T_2)(T_1+T_2)(T_1^2+T_2^2).
Calculemos cada termo:
Diferença e soma:
T_1 - T_2 = 1089{,}15 - 533{,}15 = 556{,}0\\ \mathrm{K},
T_1 + T_2 = 1089{,}15 + 533{,}15 = 1622{,}30\\ \mathrm{K}.
Quadrados:
T_1^2 = 1089{,}15^2 = 1\,186\,247{,}7225\\ \mathrm{K^2}
(obtido por 1089{,}15^2 = (1100-10{,}85)^2 = 1\,210\,000 - 23\,870 + 117{,}7225),
T_2^2 = 533{,}15^2 = 283\,248{,}9225\\ \mathrm{K^2}
(obtido por 533{,}15^2 = (533+0{,}15)^2 = 283\,089 + 159{,}9 + 0{,}0225).
Somando os quadrados:
T_1^2 + T_2^2 = 1\,186\,247{,}7225 + 283\,248{,}9225 = 1\,469\,496{,}645\\ \mathrm{K^2}.

Passo 4

Agora calcule T_1^4 - T_2^4 usando os termos obtidos:
T_1^4 - T_2^4 = (556{,}0)(1622{,}30)(1\,469\,496{,}645).
Primeiro faça 556{,}0\times1622{,}30 = 901\,998{,}8.
Em seguida
901\,998{,}8 \times 1\,469\,496{,}645 \approx 1{,}325\,484\,210{,}6\times10^{12}\\ \mathrm{K^{4}}.

Passo 5

Aplicar a constante de Stefan–Boltzmann para obter o fluxo:
q = \sigma\bigl(T_1^4 - T_2^4\bigr) = 5{,}670374419\times10^{-8}\times 1{,}325484210{,}6\times10^{12}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Multiplicando:
q \approx 75\,159{,}9\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Converter para \mathrm{kW/m^{2}}:
q \approx 75{,}16\\ \mathrm{kW/m^{2}}.
Comentário didático: esse valor é grande porque as temperaturas absolutas são altas e o termo em T^4 cresce muito rapidamente.

Passo 6

Definir e calcular o coeficiente de transferência de calor por radiação. Aqui usamos a definição linearizada usual:
h_{r}=\frac{q}{T_1-T_2},
onde T_1-T_2 está em Kelvin. Já calculamos q e T_1-T_2 = 556{,}0\\ \mathrm{K}, então
h_{r} = \frac{75\,159{,}9}{556{,}0}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)} \approx 135{,}2\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Explicação curta: h_{r} é uma representação linear (média) que diz quantos watts por metro quadrado aumentam por cada kelvin de diferença entre as placas — útil em modelos onde se quer tratar a radiação de forma análoga à convecção.

Passo 7

Resumo numérico com arredondamento adequado:
  • fluxo radiativo por unidade de área: q \approx 75{,}16\\ \mathrm{kW/m^{2}} (ou 75\,160\\ \mathrm{W/m^{2}});
  • coeficiente linearizado de radiação: h_{r}\approx 135{,}2\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Força aí — dá pra decorar o procedimento: 1) converter pra Kelvin, 2) usar q=\sigma(T_1^4-T_2^4) para corpos negros, 3) se quiser um coeficiente linearizado dividir por (T_1-T_2).

Resposta

Fluxo de radiação: 75{,}16\\ \mathrm{kW/m^{2}}
Coeficiente de transferência por radiação: 135{,}2\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}

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