Simplifique a equação diferencial da condução para um sistema:
bidimensional em x e y, sem geração de energia interna, em regime permanente e com condutividade térmica constante.
bidimensional em x e y, sem geração de energia interna, em regime permanente e com condutividade térmica constante.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes condições e pede uma simplificação da equação diferencial da condução:
- Sistema bidimensional nas coordenadas
e (ou seja, as variações em são desprezíveis). - Não há geração de energia interna (fonte volumétrica nula).
- Regime permanente (estado estacionário), logo não há dependência temporal da temperatura.
- Condutividade térmica
constante no domínio.
O que se pede: simplificar a equação diferencial geral da condução térmica usando essas hipóteses, chegando à forma mais simples válida para esse caso.
Passo 2
Começo pela forma geral (transiente, com geração e condutividade possivelmente variável) da conservação de energia em um meio contínuo. A equação diferencial padrão é
onde:
-
é a densidade do material (kg/m^3), -
é o calor específico (J/(kg·K)), -
é a temperatura (K), -
é o tempo (s), -
é a condutividade térmica (W/(m·K)), que pode depender da posição em geral, -
é a taxa de geração volumétrica de calor (W/m^3), -
é o gradiente de temperatura (vetor), -
é a divergência (opera sobre o vetor fluxo de calor).
Explicando fisicamente: o termo
representa acumulação de energia (variação temporal do conteúdo térmico);
representa a divergência do fluxo de calor (entrada/saída de calor por condução);
é calor gerado internamente.
Passo 3
Lembrando a Lei de Fourier para condução:
onde
(W/m^2) é o vetor densidade de fluxo de calor. A divergência do fluxo aparece na equação de conservação como
, que é exatamente o termo
com sinal apropriado na equação geral.
Passo 4
Aplicando a condição de regime permanente (estado estacionário): a temperatura não depende do tempo, logo
Substituindo isso na equação geral obtemos
Passo 5
Agora aplico a hipótese “sem geração interna”: isto é,
. Assim a equação fica
Passo 6
Finalmente uso que a condutividade é constante no domínio, ou seja,
não depende de
. Quando
é constante pode-se colocá‑lo fora da operação de divergência:
onde
é o operador laplaciano (soma das segundas derivadas espaciais). Como
é positivo e não nulo, dividindo ambos os lados por
resulta
Essa é a equação de Laplace para temperatura — representa equilíbrio térmico sem fontes nem variação temporal.
Passo 7
Como o problema é bidimensional (variação apenas em
e
, sem dependência em
), a expressão do laplaciano em coordenadas cartesianas reduz para
Portanto a equação simplificada fica
Passo 8
Interpretação e dica prática para a prova (curto e direto): a equação encontrada é a equação de Laplace em 2D. Para resolver um problema concreto é necessário fornecer as condições de contorno (valores de
fixos na fronteira — condições de Dirichlet; ou fluxo de calor especificado — condições de Neumann; ou combinação — Robin). Em uma situação unidimensional de mesma natureza, a equação reduz a
, cuja solução geral é linear:
. Isso serve como verificação rápida de consistência.