Simplifique a equação diferencial da condução para um sistema:
bidimensional em x e y, sem geração de energia interna, em regime permanente e com condutividade térmica constante.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes condições e pede uma simplificação da equação diferencial da condução:
  • Sistema bidimensional nas coordenadas x e y (ou seja, as variações em z são desprezíveis).
  • Não há geração de energia interna (fonte volumétrica nula).
  • Regime permanente (estado estacionário), logo não há dependência temporal da temperatura.
  • Condutividade térmica k constante no domínio.
O que se pede: simplificar a equação diferencial geral da condução térmica usando essas hipóteses, chegando à forma mais simples válida para esse caso.

Passo 2

Começo pela forma geral (transiente, com geração e condutividade possivelmente variável) da conservação de energia em um meio contínuo. A equação diferencial padrão é
\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla\cdot\bigl(k\,\nabla T\bigr) + \dot{q},
onde:
  • \rho é a densidade do material (kg/m^3),
  • c é o calor específico (J/(kg·K)),
  • T(x,y,z,t) é a temperatura (K),
  • t é o tempo (s),
  • k é a condutividade térmica (W/(m·K)), que pode depender da posição em geral,
  • \dot{q} é a taxa de geração volumétrica de calor (W/m^3),
  • \nabla T é o gradiente de temperatura (vetor),
  • \nabla\cdot(\cdot) é a divergência (opera sobre o vetor fluxo de calor).
Explicando fisicamente: o termo \rho c \partial T/\partial t representa acumulação de energia (variação temporal do conteúdo térmico); \nabla\cdot(k\nabla T) representa a divergência do fluxo de calor (entrada/saída de calor por condução); \dot{q} é calor gerado internamente.

Passo 3

Lembrando a Lei de Fourier para condução:
\mathbf{q} = -k\,\nabla T,
onde \mathbf{q} (W/m^2) é o vetor densidade de fluxo de calor. A divergência do fluxo aparece na equação de conservação como \nabla\cdot\mathbf{q}=\nabla\cdot(-k\nabla T), que é exatamente o termo \nabla\cdot(k\nabla T) com sinal apropriado na equação geral.

Passo 4

Aplicando a condição de regime permanente (estado estacionário): a temperatura não depende do tempo, logo
\frac{\partial T}{\partial t}=0.
Substituindo isso na equação geral obtemos
0 = \nabla\cdot\bigl(k\,\nabla T\bigr) + \dot{q}.

Passo 5

Agora aplico a hipótese “sem geração interna”: isto é, \dot{q}=0. Assim a equação fica
\nabla\cdot\bigl(k\,\nabla T\bigr)=0.

Passo 6

Finalmente uso que a condutividade é constante no domínio, ou seja, k não depende de x,y,z. Quando k é constante pode-se colocá‑lo fora da operação de divergência:
\nabla\cdot\bigl(k\,\nabla T\bigr)=k\,\nabla\cdot(\nabla T)=k\,\nabla^2 T,
onde \nabla^2 é o operador laplaciano (soma das segundas derivadas espaciais). Como k é positivo e não nulo, dividindo ambos os lados por k resulta
\boxed{\nabla^2 T = 0.}
Essa é a equação de Laplace para temperatura — representa equilíbrio térmico sem fontes nem variação temporal.

Passo 7

Como o problema é bidimensional (variação apenas em x e y, sem dependência em z), a expressão do laplaciano em coordenadas cartesianas reduz para
\nabla^2 T = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}.
Portanto a equação simplificada fica
\boxed{\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0.}

Passo 8

Interpretação e dica prática para a prova (curto e direto): a equação encontrada é a equação de Laplace em 2D. Para resolver um problema concreto é necessário fornecer as condições de contorno (valores de T fixos na fronteira — condições de Dirichlet; ou fluxo de calor especificado — condições de Neumann; ou combinação — Robin). Em uma situação unidimensional de mesma natureza, a equação reduz a \mathrm{d}^2T/\mathrm{d}x^2=0, cuja solução geral é linear: T(x)=Ax+B. Isso serve como verificação rápida de consistência.

Resposta

\nabla^2 T=0
\displaystyle \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0

Exercícios relacionados