Simplifique a equação diferencial da condução para um sistema:
unidimensional na direção z, em regime permanente e com condutividade térmica constante;
unidimensional na direção z, em regime permanente e com condutividade térmica constante;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se simplificar a equação diferencial da condução térmica para o caso com as seguintes condições:
- sistema unidimensional na direção
; - regime permanente (steady‑state), ou seja, sem variação temporal;
- condutividade térmica constante (
constante).
- sistema unidimensional na direção
- Não foi explicitamente dito se há geração de calor volumétrica; vou manter o termo de geração volumétrica
(potência por unidade de volume) no processo para obter a forma geral e depois mostrar o caso sem geração.
Passo 2
Apresentando a equação geral da condução (forma mais usada em engenharia):
- A equação de energia local para condução em um meio contínuo, que combina a conservação de energia com a lei de Fourier, é
onde:
-
é a densidade do material ( ); -
é o calor específico à pressão constante ( ); -
é a temperatura que depende de ( ou ); -
é o tempo; -
é o operador nabla (gradiente/divergência); -
é a condutividade térmica ( ); -
é a geração volumétrica de calor ( ), positiva quando aquece o meio. - A lei de Fourier relaciona fluxo de calor por unidade de área
com gradiente de temperatura:
Explicação curta: o fluxo vai no sentido oposto ao gradiente de temperatura;
mede facilidade de condução.
Passo 3
Aplicar regime permanente:
- Em regime permanente a temperatura não varia no tempo, logo
- Substituindo na equação geral obtemos a forma estacionária:
Isto significa que a divergência do fluxo condutivo mais a geração local se equilibram.
Passo 4
Reduzir para unidimensional na direção
:
- Para um problema estritamente unidimensional na direção
a variação de só depende de (ou seja ). A divergência do fluxo torna‑se derivada em relação a :
- Se a condutividade é constante (
não depende de ), então se pode tirar para fora da derivada:
- Substituindo na equação estacionária obtemos a equação diferencial simplificada:
- Dividindo por
(assumindo ) dá uma forma ainda mais direta:
Passo 5
Interpretação física e forma alternativa com fluxo:
- Em termos de fluxo unidimensional
(com sinal convencional positivo no sentido ), pela lei de Fourier temos
- Conservação de energia para uma fatia diferencial em
dá
que é exatamente equivalente a
.
- Caso particular sem geração de calor (
):
o que leva a solução linear da temperatura:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições de contorno (por exemplo temperaturas prescritas em
e
ou um fluxo conhecido).
- Caso com geração volumétrica constante
constante, integrar duas vezes conduz a
Explicação prática: as constantes
vêm das condições de contorno (Temperatura fixa, fluxo prescrito, etc.). Por exemplo, se
e
, então
.
Resposta
ou, equivalentemente,
com o caso especial (sem geração)
.