Simplifique a equação diferencial da condução para um sistema:
unidimensional na direção z, em regime permanente e com condutividade térmica constante;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se simplificar a equação diferencial da condução térmica para o caso com as seguintes condições:
    • sistema unidimensional na direção \,z;
    • regime permanente (steady‑state), ou seja, sem variação temporal;
    • condutividade térmica constante ( k constante).
  • Não foi explicitamente dito se há geração de calor volumétrica; vou manter o termo de geração volumétrica \dot q (potência por unidade de volume) no processo para obter a forma geral e depois mostrar o caso sem geração.

Passo 2

Apresentando a equação geral da condução (forma mais usada em engenharia):
  • A equação de energia local para condução em um meio contínuo, que combina a conservação de energia com a lei de Fourier, é
\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla\!\cdot\!\bigl(k \nabla T\bigr) + \dot q,
onde:
  • \rho é a densidade do material ( \mathrm{kg/m^3});
  • c_p é o calor específico à pressão constante ( \mathrm{J/(kg\cdot K)});
  • T é a temperatura que depende de (x,y,z,t) ( \mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C});
  • t é o tempo;
  • \nabla é o operador nabla (gradiente/divergência);
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\cdot K)});
  • \dot q é a geração volumétrica de calor ( \mathrm{W/m^3}), positiva quando aquece o meio.
  • A lei de Fourier relaciona fluxo de calor por unidade de área \mathbf{q} com gradiente de temperatura:
\mathbf{q} = -k \nabla T.
Explicação curta: o fluxo vai no sentido oposto ao gradiente de temperatura; k mede facilidade de condução.

Passo 3

Aplicar regime permanente:
  • Em regime permanente a temperatura não varia no tempo, logo
\frac{\partial T}{\partial t}=0.
  • Substituindo na equação geral obtemos a forma estacionária:
0 = \nabla\!\cdot\!\bigl(k \nabla T\bigr) + \dot q.
Isto significa que a divergência do fluxo condutivo mais a geração local se equilibram.

Passo 4

Reduzir para unidimensional na direção \,z:
  • Para um problema estritamente unidimensional na direção \,z a variação de T só depende de \,z (ou seja T=T(z)). A divergência do fluxo torna‑se derivada em relação a \,z:
\nabla\!\cdot\!\bigl(k \nabla T\bigr)=\frac{d}{dz}\!\left(k\frac{dT}{dz}\right).
  • Se a condutividade é constante ( k não depende de z), então se pode tirar k para fora da derivada:
\frac{d}{dz}\!\left(k\frac{dT}{dz}\right)=k\frac{d^2 T}{dz^2}.
  • Substituindo na equação estacionária obtemos a equação diferencial simplificada:
k\frac{d^2 T}{dz^2} + \dot q = 0.
  • Dividindo por k (assumindo k\neq0) dá uma forma ainda mais direta:
\frac{d^2 T}{dz^2} + \frac{\dot q}{k} = 0.

Passo 5

Interpretação física e forma alternativa com fluxo:
  • Em termos de fluxo unidimensional q_z (com sinal convencional q_z positivo no sentido +z), pela lei de Fourier temos
q_z = -k\frac{dT}{dz}.
  • Conservação de energia para uma fatia diferencial em z
\frac{dq_z}{dz} + \dot q = 0,
que é exatamente equivalente a k\frac{d^2T}{dz^2} + \dot q = 0.
  • Caso particular sem geração de calor ( \dot q=0):
\frac{d^2 T}{dz^2}=0,
o que leva a solução linear da temperatura:
T(z)=C_1 z + C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições de contorno (por exemplo temperaturas prescritas em z=0 e z=L ou um fluxo conhecido).
  • Caso com geração volumétrica constante \dot q= constante, integrar duas vezes conduz a
T(z)=-\frac{\dot q}{2k} z^2 + C_1 z + C_2.
Explicação prática: as constantes C_1,C_2 vêm das condições de contorno (Temperatura fixa, fluxo prescrito, etc.). Por exemplo, se \dot q=0 e T(0)=T_0,\\ T(L)=T_L, então T(z)=T_0 + (T_L-T_0)\dfrac{z}{L}.

Resposta

k\frac{d^2 T}{dz^2} + \dot q = 0
ou, equivalentemente,
\frac{d^2 T}{dz^2} + \frac{\dot q}{k} = 0,
com o caso especial (sem geração) \displaystyle \frac{d^2 T}{dz^2}=0.

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