Se f(x)=lx^2+2, para -2 <= x<0 -x^2-2, para 0 <= x <= 2, existe alpha in[-2,2] tal que f(alpha)=0 ?
Este fato contradiz o Corolário do Teorema do Valor Intermediário?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^2+2, & -2<= x<0, -,x^2-2, & 0<= x<=2,
e pergunta se existe alphain[-2,2] tal que f(alpha)=0 e se isso contraria o corolário do Teorema do Valor Intermediário. Vamos usar análise de sinais, resolução de equações em cada ramo e checar a continuidade em x=0.

Passo 2

Calculemos os valores nos extremos do intervalo:
f(-2)=(-2)^2+2=4+2=6,
f(2)=-,2^2-2=-4-2=-6
Logo f(-2)>0 e f(2)<0.

Passo 3

Procuramos soluções de f(x)=0 em cada ramo.
Para -2<= x<0:
x^2+2=0 ;Longrightarrow; x^2=-2,
não há solução real.
Para 0<= x<=2:
-,x^2-2=0 ;Longrightarrow; x^2=-2,
também não há solução real.
Portanto não existe alphain[-2,2] tal que f(alpha)=0.

Passo 4

O corolário do Teorema do Valor Intermediário exige que f seja contínua em todo [-2,2]. Aqui,
limxto0^-f(x)=0^2+2=2, f(0)= -,0^2-2=-2,
logo há descontinuidade em x=0. A hipótese de continuidade falha.

Passo 5

Como f não é contínua em 0, não se pode aplicar o corolário mesmo que f(-2)cdot f(2)<0. Logo não há contradição: o fato de não existir raiz decorre da falta de continuidade, não da falha do corolário.

Resposta

Não existe alphain[-2,2] tal que f(alpha)=0. Esse fato não contradiz o corolário do Teorema do Valor Intermediário, pois f não é contínua em 0.

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