5.4K Cada edo dada abaixo tem coeficientes homogêneos. Encontre a solução geral em cada caso:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial da forma
com
Como
e
são homogêneas de grau 2, vamos usar a substituição
de modo a reduzir a equação a uma em
e
.
Passo 2
Da substituição
segue
Substituindo em
e em
, temos
e
Somando os termos em
e
, a equação fica
Passo 3
Dividindo tudo por
(assumindo
), obtemos
Passo 4
Isolamos
para separar variáveis:
Fazendo
, temos
, e então
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Voltando a
,
Passo 6
Retornando à variável original
y/x = v , isto é
v^2=(y/x)^2 , a solução geral implícita é
onde
C' é constante arbitrária.
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por