5.4K Cada edo dada abaixo tem coeficientes homogêneos. Encontre a solução geral em cada caso:
(x^2 tg(y^2 / x^2)-2 y^2) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial da forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=x^2tan!l(tfracy^2x^2r)-2y^2, N(x,y)=2xy
Como M e N são homogêneas de grau 2, vamos usar a substituição
y = v x,
de modo a reduzir a equação a uma em v e x.

Passo 2

Da substituição y=vx segue
dy = v,dx + x,dv
Substituindo em 2xy,dy e em M(x,y),dx, temos
2xy,dy = 2x,(v x),(v,dx + x,dv) =2x^2v^2,dx + 2x^3v,dv,
e
M(x,y),dx =l(x^2tan(v^2)-2x^2v^2r),dx =x^2tan(v^2),dx ;-;2x^2v^2,dx
Somando os termos em dx e dv, a equação fica
x^2tan(v^2),dx -2x^2v^2,dx +2x^2v^2,dx +2x^3v,dv=0 ;;Longrightarrow;; x^2tan(v^2),dx +2x^3v,dv=0

Passo 3

Dividindo tudo por x^2 (assumindo xneq0), obtemos
tan(v^2),dx + 2xv,dv = 0 Long<=ftrightarrow tan(v^2),dxx + 2v,dv = 0

Passo 4

Isolamos dx/x para separar variáveis:
dxx = -2v,dvtan(v^2)
Fazendo u = v^2, temos du = 2v,dv, e então
dxx = -dutan(u) = -cos(u)sin(u),du

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral dxx = -integral cos(u)sin(u),du ;Longrightarrow; lnlvert xrvert = -lnlvert sin(u)rvert + C
Voltando a u=v^2,
lnlvert xrvert + lnllvert sin(v^2)rrvert = C ;Longrightarrow; lnllvert x,sin(v^2)rrvert = C

Passo 6

Retornando à variável original y/x = v, isto é v^2=(y/x)^2, a solução geral implícita é
x,sin!l((y/x)^2r) = C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
boxedx,sin!l(y^2x^2r)=C

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