1. Uma longa faixa de metal com 8 cm de largura deve ser transformada numa calha virando para cima dois lados, em ângulos retos com relação à base. Se a calha deve ter capacidade máxima, quantos centímetros devemos virar para cima nos lados?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma faixa de metal de largura 8 cm e que vamos formar uma calha dobrando para cima, em ângulo reto, dois retângulos iguais de altura x. O objetivo é escolher x de modo que a capacidade (área da seção transversal) seja máxima. Aqui vamos usar otimização de função de uma variável via derivada.

Passo 2

Definimos:
x = a<ura (em cm) de cada dobra lateral,
então a largura da base da calha fica
8 - 2x(em cm)
A área da seção transversal, em função de x, é
A(x) = xl(8 - 2xr) = 8x - 2x^2,
com domínio 0 <= x <= 4 (para não inverter a dobra).

Passo 3

Para encontrar o máximo de A(x) calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x) = ddx(8x - 2x^2) = 8 - 4x
Igualando a zero:
8 - 4x = 0 Longrightarrow x = 2 cm
Verificando o sinal da concavidade:
A''(x) = -4 < 0,
logo x=2 dá um máximo.

Resposta

Devemos dobrar 2 cm em cada lado para obter capacidade máxima.

Exercícios relacionados