22.9 Uma fina e uniforme camada de tinta carregada é espalhada sobre a superfície de uma esfera plástica com diâmetro de 12,0 \mathrm{~cm}, produzindo uma carga de -15,0 \mu \mathrm{C}. Determine o campo elétrico (a) dentro da camada de tinta; (b) fora da camada de tinta; (c) 5,0 cm fora da superfície da camada de tinta.

Passo 1

O enunciado dá uma camada fina e uniforme de tinta carregada sobre a superfície de uma esfera plástica com diâmetro 12{,}0\\ \mathrm{cm}, produzindo uma carga total de -15{,}0\\ \mu\mathrm{C}. As perguntas são:
(a) Qual o campo elétrico dentro da camada de tinta (isto é, para pontos com raio r menor que o raio da esfera)?
(b) Qual o campo elétrico fora da camada de tinta (expressão para r maior que o raio da esfera)?
(c) Qual o campo elétrico no ponto situado 5{,}0\\ \mathrm{cm} fora da superfície da camada de tinta (valor numérico e direção)?
Informações numéricas que usarei (retiradas do enunciado):
  • Diâmetro da esfera: 12{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Raio da esfera: R=\dfrac{12{,}0}{2}\\ \mathrm{cm}=6{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}060\\ \mathrm{m}.
  • Carga total na camada: Q=-15{,}0\\ \mu\mathrm{C}=-15{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Para o item (c) a distância ao centro será r=R+5{,}0\\ \mathrm{cm}=6{,}0\\ \mathrm{cm}+5{,}0\\ \mathrm{cm}=11{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}110\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Ideia física e fórmula que vou usar (explicação didática e passo a passo). Como a carga está distribuída de modo uniforme sobre a superfície esférica e a esfera é simétrica, escolhe-se uma superfície gaussiana esférica concêntrica com a esfera de tinta. A ferramenta que formaliza isso é a relação que liga fluxo elétrico e carga contida:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Explicando cada termo:
  • \vec{E} é o campo elétrico no ponto da superfície gaussiana.
  • d\vec{A} é um elemento de área da superfície gaussiana, com direção normal para fora.
  • \oint indica integração sobre toda a superfície fechada.
  • Q_{\text{enc}} é a carga total envolvida (dentro) pela superfície gaussiana.
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.
Por simetria esférica, se a superfície gaussiana é uma esfera de raio r concêntrica, \vec{E} tem mesma magnitude em toda a superfície e é radial. Assim a integral vira E\cdot 4\pi r^2. A técnica é: escolher r<R para responder (a) e r>R para responder (b).

Passo 3

Cálculo do item (a): campo para r<R (dentro da camada de tinta).
Escolho uma esfera gaussiana de raio r tal que r<R. A carga Q_{\text{enc}} contida dentro dessa esfera é zero porque toda a carga está na camada fina sobre r=R (nenhuma carga volumétrica no interior). Aplicando a relação:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=E\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}=\frac{0}{\varepsilon_0}=0.
Logo E\cdot 4\pi r^2=0 implica E=0 para todo r<R.
Interpretação física curta: dentro de uma casca esférica carregada uniformemente não há campo resultante; as contribuições de todas as partes da casca se cancelam.

Passo 4

Cálculo do item (b): campo para r>R (fora da camada de tinta), expressão geral.
Agora escolho uma esfera gaussiana de raio r com r>R. A carga contida é toda a carga Q. Pela simetria:
E\cdot 4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
Isolando E:
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}.
Podemos escrever também usando a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}:
E(r)=k\frac{Q}{r^2}.
Direção: \vec{E} é radial. Se Q>0 aponta para fora; se Q<0 aponta para o centro (para dentro). Aqui Q é negativo, então o campo aponta radialmente para o centro da esfera.

Passo 5

Preparação dos valores numéricos para o item (c) e conversões (já parcialmente feitas no Passo 1).
Relembrando:
R=0{,}060\\ \mathrm{m},\qquad Q=-15{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\qquad r=0{,}110\\ \mathrm{m}.
Usarei k=8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}. Para o cálculo do módulo de E uso a fórmula do Passo 4 com valor absoluto de Q e depois atribuo a direção (para dentro, porque Q<0).

Passo 6

Cálculo numérico do campo em r=0{,}110\\ \mathrm{m} (item (c)), passo a passo:
Primeiro calcular k|Q|:
k|Q|=(8{,}988\times10^{9})\times(15{,}0\times10^{-6})=8{,}988\times10^{9}\times1{,}50\times10^{-5}.
Multiplicando os fatores:
8{,}988\times1{,}50=13{,}482\quad\Rightarrow\quad k|Q|=13{,}482\times10^{4}=1{,}3482\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.
Agora r^2=(0{,}110)^2=0{,}0121\\ \mathrm{m^2}. Dividindo:
E=\frac{k|Q|}{r^2}=\frac{1{,}3482\times10^{5}}{0{,}0121}\\ \mathrm{N/C}.
Fazendo a divisão:
E\approx1{,}114\times10^{7}\\ \mathrm{N/C}.
Como Q é negativo, o vetor campo aponta para o centro da esfera (isto é, radialmente para dentro). Mantendo três algarismos significativos:
E\approx1{,}11\times10^{7}\\ \mathrm{N/C}\quad\text{(direção: radialmente para dentro).}çã

Resposta

(a) E=0 para r<R.
(b) \displaystyle E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2} para r>R (vetor \vec{E} radial; como Q<0, aponta para o centro).
(c) E(0{,}110\\ \mathrm{m})\approx1{,}11\times10^{7}\\ \mathrm{N/C} apontando radialmente para dentro.

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