22.9 Uma fina e uniforme camada de tinta carregada é espalhada sobre a superfície de uma esfera plástica com diâmetro de
, produzindo uma carga de
. Determine o campo elétrico (a) dentro da camada de tinta; (b) fora da camada de tinta; (c) 5,0 cm fora da superfície da camada de tinta.
Passo 1
O enunciado dá uma camada fina e uniforme de tinta carregada sobre a superfície de uma esfera plástica com diâmetro
, produzindo uma carga total de
. As perguntas são:
(a) Qual o campo elétrico dentro da camada de tinta (isto é, para pontos com raio menor que o raio da esfera)?
(b) Qual o campo elétrico fora da camada de tinta (expressão para maior que o raio da esfera)?
(c) Qual o campo elétrico no ponto situado fora da superfície da camada de tinta (valor numérico e direção)?
(a) Qual o campo elétrico dentro da camada de tinta (isto é, para pontos com raio
(b) Qual o campo elétrico fora da camada de tinta (expressão para
(c) Qual o campo elétrico no ponto situado
Informações numéricas que usarei (retiradas do enunciado):
- Diâmetro da esfera:
. - Raio da esfera:
. - Carga total na camada:
. - Para o item (c) a distância ao centro será
.
Passo 2
Ideia física e fórmula que vou usar (explicação didática e passo a passo). Como a carga está distribuída de modo uniforme sobre a superfície esférica e a esfera é simétrica, escolhe-se uma superfície gaussiana esférica concêntrica com a esfera de tinta. A ferramenta que formaliza isso é a relação que liga fluxo elétrico e carga contida:
Explicando cada termo:
-
é o campo elétrico no ponto da superfície gaussiana. -
é um elemento de área da superfície gaussiana, com direção normal para fora. -
indica integração sobre toda a superfície fechada. -
é a carga total envolvida (dentro) pela superfície gaussiana. -
é a permissividade do vácuo, .
Por simetria esférica, se a superfície gaussiana é uma esfera de raio
concêntrica,
tem mesma magnitude em toda a superfície e é radial. Assim a integral vira
. A técnica é: escolher
para responder (a) e
para responder (b).
Passo 3
Cálculo do item (a): campo para
(dentro da camada de tinta).
Escolho uma esfera gaussiana de raio
tal que
. A carga
contida dentro dessa esfera é zero porque toda a carga está na camada fina sobre
(nenhuma carga volumétrica no interior). Aplicando a relação:
Logo
implica
para todo
.
Interpretação física curta: dentro de uma casca esférica carregada uniformemente não há campo resultante; as contribuições de todas as partes da casca se cancelam.
Passo 4
Cálculo do item (b): campo para
(fora da camada de tinta), expressão geral.
Agora escolho uma esfera gaussiana de raio
com
. A carga contida é toda a carga
. Pela simetria:
Isolando
:
Podemos escrever também usando a constante
:
Direção:
é radial. Se
aponta para fora; se
aponta para o centro (para dentro). Aqui
é negativo, então o campo aponta radialmente para o centro da esfera.
Passo 5
Preparação dos valores numéricos para o item (c) e conversões (já parcialmente feitas no Passo 1).
Relembrando:
Usarei
. Para o cálculo do módulo de
uso a fórmula do Passo 4 com valor absoluto de
e depois atribuo a direção (para dentro, porque
).
Passo 6
Cálculo numérico do campo em
(item (c)), passo a passo:
Primeiro calcular
:
Multiplicando os fatores:
Agora
. Dividindo:
Fazendo a divisão:
Como
é negativo, o vetor campo aponta para o centro da esfera (isto é, radialmente para dentro). Mantendo três algarismos significativos:
Resposta
(a)
para
.
(b) para
(vetor
radial; como
, aponta para o centro).
(c) apontando radialmente para dentro.
(b)
(c)